Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


Dämpfung für Anfänger

Unter Dämpfung versteht man hier, dass eine physikalische Größe durch eine andere verkleinert wird, die mit ihr in Zusammenhang steht.

Beispiel: Eine Bewegung wird durch Reibung verringert. Der einfachste Ansatz ist, dass die Gegenkraft geschwindigkeitsabhängig ist, und zwar proportional.

Auch das Gegenteil ist denkbar:

Wachstum

Eine Größe wächst umso schneller, je größer sie ist: Wachstum. (Man denkt sofort an sein Konto zu Zeiten guter Zinsen!)

Fangen wir mit dem Wachstum des Kontostands k(t) an, das erscheint einfacher:

k'(t) = k(t)

Mit einerseits dem Theorem, dass k(t) über eine Potenzreihe darstellbar sein muss, und andererseits der Notwendigkeit der Anpassung der Koeffizienten an den jeweiligen Nachbarn (damit nach der Ableitung die richtige Potenz den richtigen Koeffizienten hat) ergibt sich:

k(t) = 1 + t + 1/2*t^2 + 1/6*t^3 + 1/24*t^4 +…+ 1/n!*t^n+…

k'(t) = 0 + 1 + 1/2*t^2 + 1/6*t^3+…

Das geht also tatsächlich auf.

Grafisch sieht das so aus:

Wachstumskurve schrittweise aus den Potenzen zusammengesetzt (einfach doofe EXCEL-Farben-Reihen-Automatik unverändert gelassen: Blau: o. Potenz, magenta 0. und 1. Potenz, gelb 0. und 1. und 2. Potenz usw. usf.). Die Summation läuft auf eine steigende e-Funktion hinaus und ergibt für Abszisse=1 den Ordinatenwert 2,71=e.

Natürlich gibt es auch den excelperimentellen Trial-and-Error-Weg: Ich gebe eine Funktion 2^x (2 hoch x) ein (die Basis 2 und eine Schrittweite dx (etwa 0,01) in absolut adressierte Zellen), bilde eine Tabelle mit den Spalten: 1. Spalte: x, 2. Spalte: 2^x , 3. Spalte: Differenzen benachbarter Werte der 2. Spalte geteilt durch Schrittweite, das ist der Anstieg) und verändere nun die Basis so lange, bis sich beide Funktionen (Spalte 2 und Spalte 3) im Grafen überdecken. Dann habe ich die Basis 2,71(8281828…) erreicht und e excelperimentell ermittelt, ohne das Gründungsjahr 1828 der Dresdner TU gekannt zu haben.

2,5 hoch x: Der Anstieg ist im Vergleich der Funktion zu klein.

3,0 hoch x: Der Anstieg ist im Vergleich zur Funktion zu groß!

2,718 hoch x: Der Anstieg ist fast identisch mit der Funktion! Wir haben e excelperimentell hinreichend gnau „per Hand“ ermittelt.


Dämpfung:

Lassen wir die physikalischen Einheiten und Größen weg, indem wir sie später Eins setzen, ergibt sich auch hier wieder eine Gleichung für die Kraft, die der obigen beim Wachstum ähnelt:

F = -d*v(t) = m*a(t) = – d*x'(t) = m*x“(t)

x'(t) = -x“(t) mit m=1 und mit d =1

Integrieren wir die Gleichung einmal und lassen die Konstanten weg, ergibt sich

x'(t) = -x(t)

Gehen wir wieder vom Theorem aus, dass die Lösung eine Funktion ist, die durch eine Potenzreihe darstellbar ist, so müssen deren Koeffizienten nach der Potenzregel des Differenzierens wieder reziproke Fakultäten sein, aber was ist mit dem Minuszeichen? Das ist je nach Potenz verschieden zu nutzen:

x(t) = 1 – t^1 + 1/2*t^2 – 1/6*t^3 + 1/24*t^4 -…+(-1)^n/n! * t^n

x'(t) = 0 – 1 + 1/2*t^2 – 1/6*t^3 + …

Stellen wir das in EXCEL schrittweise grafisch dar, finden wir, dass diese Funktion x(t) bei t=1 den Wert 0,368 hat, also den Kehrwert von e.

Dämpfungskurve als Zeitumkehr des Wachstums: Jetzt sieht man den Unterschied zwischen geradzahligen und ungeradzahligen Exponenten! Die Summation läuft auf eine abklingende e-Funktion hinaus (rosa)!

Hier wird das Endergebnis von beiden Seiten eingekreist, während es bei der Wachstumsfunktion von unten angenähert worden war.

JEDER Ausgleich, der in der Natur stattfindet, passiert nach diesem Prinzip: Je dichter das System am Ausgleich ist, desto langsamer wird der Ausgleichsprozess. Das geht mit der Temperatur über den Wärmestrom so, mit der Konzentration über den Diffusionsstrom und mit dem elektrischen Potential über den elektrischen Strom. Und das geht so mit der Geschwindigkeit (mit der kinetischen Energie wäre besser!) über die Reibleistung (Leistung als Energiestrom!!). Man muss lediglich Richtung, Anfangs- und Endpunkt in die Koordinaten/Gleichungen richtig „einpreisen“ (Koordinaten-Transformation), schon kann man alles berechnen oder berechnen lassen.

Zusammen mit der Schwingung (siehe Schwingungsgleichgung für Anfänger) hat man die zwei wichtigsten natürlichen und technischen zeitabhängig rückwirkenden Prozesse „im Griff“. (Und nebenbei die universellen Konstanten Pi und e verstanden.)

WICHTIG: Pi und e sind KEINE Erfindungen der in schöne oder komplizierte Funktionen verliebten Mathematiker, sondern NATÜRLICHE KONSTANTEN der EINFACHSTEN beiden rückgekoppelten Prozesse der Welt, wo die Wirkung auf die Ursache zurückwirkt, nämlich in den beiden niedrigstmöglichen Ableitungen.

Ausgleich:

Eine einfache Rechenübung für einen Ausgleich basiert auf dem Gedankenexperiment, man habe zwei (gleich große) Räume mit je 100 Personen und einer Tür dazwischen, die in Intervallen geöffnet und wieder geschlossen wird. Jedesmal wechseln statistisch ausgewählte 10 Personen den Raum. Anfangs sind alle mit grünen Mützen im Raum 1, alle mit roten im Raum 2.

Die Verteilung grün/rot entwickelt sich so:

Raum 1 100/0   90/10   82/18   76/24   70/30   66/34   62/38   60/40   58/42

Raum 2 0/100   10/90   18/82  24/76   30/70   34/66   38/62   40/60   42/58

Nun, die Genauigkeit erhöht sich mit der Anzahl der Teilnehmer. Trotzdem erkennt man schon, wohinaus das Ganze läuft: Zum Schluss haben wir wahrscheinlich 50/50 grün/rot.

(Wichtig ist, dass man den zweiten Schritt versteht: Von den 90 Grünen im Raum 1 gehen 10% = 9 weg, aber einer (10% derjenigen in Raum 2) kommt zurück, weshalb die Anzahl nur um 8 sinkt, nicht um 9.)

Stetige Berechnung der Grünmützen (es sind jetzt im Gegensatz zu obiger Tabelle auch Halbe, Viertel usw. erlaubt…)

Übrigens: Man kann alle drei Gleichungen (Dämpfung/Ausgleich, Wachstum und Schwingung) mit der richtigen Verwendung der imaginären Einheit „i“ bzw. „j“ zusammenfassen, was besonders in der Elektrotechnik viele Vorteile bei der kompakten Beschreibung analoger Schaltkreise bringt. Interessenten informieren sich bitte dort – das führte hier zu weit von den Strukturen weg, pardon.

Philosophie:

Es gibt die Denkübung, ALLES in der Welt als Ausgleichsprozess zu sehen, also als gedämpfte Nivellierung. Dann gibt es irgendwann keine Unterschiede mehr und also keine Ströme und also keine Veränderung. Da das am Wärmeausgleich am populistischsten zu beschreiben ist, nennt man diesen gleichmäßig lauen unstrukturierten Zustand der Welt dann „Wärmetod“ (mit maximaler Entropie).

Zum Glück stecken kosmologische Denkfehler dahinter: Es gibt kein im Sinne des Gedankengangs existierendes abgeschlossenes System und keine unendlichen Geschwindigkeiten.

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