Joachim Adolphi

e: Universelle Naturkonstante aus der Dämpfungsgleichung für Anfänger

• Joachim Adolphi
• Sonntag, 9. April 2017
• Sonntag, 20. Februar 2022
• Ausgleich, Dämpfung, e, imaginäre Einheit i, natürliche Zahl e, Rückkopplung, Wachstum

In der Schule lernt man, dass es eine „natürliche Zahl“ e gibt, die den „natürlichen“ Wachstumsprozess oder die „natürliche“ Dämpfung beschreibt, indem man sie als Basis einer Exponentialfunktion nimmt, woraus natürlich auch ein besonderer Logarithmus, nämlich der „natürliche“ (ln) folgt.

Ist es möglich, ohne Kenntnis dieser Zahl „e“ (benannt nach Euler) diese natürlichen Prozesse zu beschreiben?

Dazu bedienen wir uns des gleichen naturphilosophischen Ansatzes wie bei Pi:

Wenn das Ergebnis einer Veränderung einer Größe mit der Geschwindigkeit dieser Veränderung im linearen Zusammenhang (in einer Proportion, also dem grundlegenden Naturgesetz) steht, dann lässt es sich einfach mathematisch formulieren, indem man alle physikalischen Größen gleich 1 setzt.

Unter Dämpfung versteht man hier, dass eine physikalische Größe durch eine andere verkleinert wird, die mit ihr in Zusammenhang steht.

Zwei einfache Beispiele:

Ein Wasserbehälter läuft durch Schwerkraftwirkung aus. Je geringer der Wasserstand, desto geringer die Strömung und desto geringer die Geschwindigkeit der Änderung des Wasserstandes.

Ein Fahrradschlauch wird aufgepumpt. Je größer der erzeugte Innendruck, desto kleiner die noch hinzufügbare Luftmenge pro Pumpenhub, da das Ventil später gegen den Innendruck öffnet.

Auch das Gegenteil ist denkbar:

Wachstum

Eine Größe wächst umso schneller, je größer sie ist: Wachstum. (Man denkt sofort an sein Konto zu Zeiten guter Zinsen!)

Fangen wir mit dem Wachstum des Kontostands k(t) an, das erscheint einfacher:

k'(t) = k(t)

Mit einerseits dem Theorem, dass k(t) über eine Potenzreihe (Taylor) darstellbar sein muss, und andererseits der Notwendigkeit der Anpassung der Koeffizienten an den jeweiligen Nachbarn (damit nach der Ableitung die richtige Potenz den richtigen Koeffizienten hat) ergibt sich:

k(t) = 1 + t + 1/2*t^2 + 1/6*t^3 + 1/24*t^4 +…+ 1/n!*t^n+…

k'(t) = 0 + 1 + 1/2*t^2 + 1/6*t^3+…

Das geht also tatsächlich auf.

Grafisch sieht das so aus:

Natürlich gibt es auch den excelperimentellen Trial-and-Error-Weg: Ich gebe eine Funktion 2^x (2 hoch x) ein (die Basis 2 und eine Schrittweite dx (etwa 0,01) in absolut adressierte Zellen), bilde eine Tabelle mit den Spalten: 1. Spalte: x, 2. Spalte: 2^x , 3. Spalte: Differenzen benachbarter Werte der 2. Spalte geteilt durch Schrittweite, das ist der Anstieg) und verändere nun die Basis so lange, bis sich beide Funktionen (Spalte 2 und Spalte 3) im Grafen überdecken. Dann habe ich die Basis 2,71 erreicht (oder auch bei genauerer Arbeit 2,7 1828 1828… ohne das Gründungsjahr 1828 der Dresdner TU gekannt zu haben) und also e „excelperimentell“ ermittelt..

Dämpfung:

Lassen wir in einem etwas komplizierteren Beispiel als den beiden oben genannten die physikalischen Einheiten und Größen bei der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft auf eine Masse weg, indem wir sie später Eins setzen, ergibt sich auch hier wieder eine Gleichung für die Kraft, die der obigen beim Wachstum ähnelt:

F = -d*v(t) = m*a(t) = – d*x'(t) = m*x“(t)

x'(t) = -x“(t) mit m=1 und mit d =1

Integrieren wir die Gleichung einmal und lassen die Konstanten weg, ergibt sich

x'(t) = -x(t)

Gehen wir wieder vom Theorem aus, dass die Lösung eine Funktion ist, die durch eine Potenzreihe darstellbar ist, so müssen deren Koeffizienten nach der Potenzregel des Differenzierens wieder reziproke Fakultäten sein, aber was ist mit dem Minuszeichen? Das ist je nach Potenz verschieden zu nutzen:

x(t) = 1 – t^1 + 1/2*t^2 – 1/6*t^3 + 1/24*t^4 -…+(-1)^n/n! * t^n

x'(t) = 0 – 1 + 1/2*t^2 – 1/6*t^3 + …

Stellen wir das in EXCEL schrittweise grafisch dar, finden wir, dass diese Funktion x(t) bei t=1 den Wert 0,368 hat, also den Kehrwert von e.

Hier wird das Endergebnis von beiden Seiten eingekreist, während es bei der Wachstumsfunktion von unten angenähert worden war.

JEDER Ausgleich, der in der Natur stattfindet, passiert nach diesem Prinzip: Je dichter das System am Ausgleich ist, desto langsamer wird der Ausgleichsprozess. Das geht mit der Temperatur über den Wärmestrom so, mit der Konzentration über den Diffusionsstrom und mit dem elektrischen Potential über den elektrischen Strom. Und das geht so mit der Geschwindigkeit (mit der kinetischen Energie wäre besser!) über die Reibleistung (Leistung als Energiestrom!!). Man muss lediglich Richtung, Anfangs- und Endpunkt in die Koordinaten/Gleichungen richtig „einpreisen“ (Koordinaten-Transformation), schon kann man alles berechnen oder berechnen lassen.

Zusammen mit der Schwingung (siehe Pi: Universelle Naturkonstante aus der Schwingungsgleichgung für Anfänger) hat man die zwei wichtigsten natürlichen und technischen zeitabhängig rückwirkenden Prozesse „im Griff“. (Und nebenbei die universellen Konstanten Pi und e verstanden.)

WICHTIG: Pi und e sind KEINE Erfindungen der in schöne oder komplizierte Funktionen verliebten Mathematiker, sondern NATÜRLICHE KONSTANTEN der EINFACHSTEN beiden rückgekoppelten Prozesse der Welt, wo die Wirkung auf die Ursache zurückwirkt, nämlich in den beiden niedrigstmöglichen Ableitungen.

Ausgleich:

Eine einfache Rechenübung für einen Ausgleich basiert auf dem Gedankenexperiment, man habe zwei (gleich große) Räume mit je 100 Personen und einer Tür dazwischen, die in Intervallen geöffnet und wieder geschlossen wird. Jedesmal wechseln statistisch ausgewählte 10 Personen den Raum. Anfangs sind alle mit grünen Mützen im Raum 1, alle mit roten im Raum 2.

Die Verteilung grün/rot entwickelt sich so:

Raum 1 100/0   90/10   82/18   76/24   70/30   66/34   62/38   60/40   58/42

Raum 2 0/100   10/90   18/82  24/76   30/70   34/66   38/62   40/60   42/58

Nun, die Genauigkeit erhöht sich mit der Anzahl der Teilnehmer. Trotzdem erkennt man schon, wohinaus das Ganze läuft: Zum Schluss haben wir wahrscheinlich 50/50 grün/rot.

(Wichtig ist, dass man den zweiten Schritt versteht: Von den 90 Grünen im Raum 1 gehen 10% = 9 weg, aber einer (10% derjenigen in Raum 2) kommt zurück, weshalb die Anzahl nur um 8 sinkt, nicht um 9.)

Übrigens: Man kann alle drei Gleichungen (Dämpfung/Ausgleich, Wachstum und Schwingung) mit der richtigen Verwendung der imaginären Einheit „i“ bzw. „j“ zusammenfassen, was besonders in der Elektrotechnik viele Vorteile bei der kompakten Beschreibung analoger Schaltkreise bringt. Interessenten informieren sich bitte dort – das führte hier zu weit von den Strukturen weg, pardon.

Philosophie:

Es gibt die Denkübung, ALLES in der Welt als Ausgleichsprozess zu sehen, also als gedämpfte Nivellierung. Dann gibt es irgendwann keine Unterschiede mehr und also keine Ströme und also keine Veränderung. Da das am Wärmeausgleich am populistischsten zu beschreiben ist, nennt man diesen gleichmäßig lauen unstrukturierten Zustand der Welt dann „Wärmetod“ (mit maximaler Entropie).

Zum Glück stecken kosmologische Denkfehler dahinter: Es gibt kein im Sinne des Gedankengangs existierendes abgeschlossenes System und keine unendlichen Geschwindigkeiten.

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