Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


Mittelwerte

Frage:

Sind Mittewerte vernünftig und wenn ja, warum und unter welchen Umständen?

Der praktische Menschenverstand ersetzt gern die individuellen Eigenschaften einer Gruppe durch ihren Mittelwert, wenn er Pauschalaussagen machen will. Können statt 100 Erwachsenen 200 Kinder mit dem Schiff fahren? Also schätzen wir ab, ob die Kinder im Mittel halb so schwer wie die Erwachsenen sind und stellen in Abhängigkeit vom Alter fest, dass das hinhauen könnte.

Betrachten wir die Mittelwertbildung etwas genauer, stellen wir fest, dass es da Fallen gibt, weil viele Größen, die wir mitteln wollen, unterschiedliche Bezüge haben können.

Wie immer lässt sich das am Beispiel der räumlichen Bewegung am besten demonstrieren. Stelle deinem Bekanntenkreis folgende Frage:

Bei einer Berg-Radelei seid ihr zum Pass hinauf mit 15 km/h unterwegs gewesen. Wie schnell müsst ihr die gleiche Strecke zurück bergab fahren, damit ihr auf einen Gesamt-Schnitt von 30 km/h kommt?

Die „normale“ Antwort ist schnell er-„mittelt“: 45 km/h!

Die Probe am gewählten mathematisch einfachsten Kopfrechen-Beispiel der Streckenlänge vom Anstieg (gleich Abfahrt) von 15 km ergibt, dass das nicht stimmt, ja gar nicht stimmen kann. Bei einem Gesamtschnitt von 30 km/h brauche ich für Auf- und Abfahrt zusammen (30 km) eine Stunde, die ich aber schon im Anstieg (15 km/h für 15 km) vollständig verbraucht habe. Nun müsste ich in Nullkommanichts (also Überlichtgeschwindigkeit) hinabrasen, um noch das Limit zu schaffen.

Was ist falsch an der Rechnung?

Die Mittelung der Geschwindigkeiten kann grundsätzlich sich auf Zeiten ODER auf Strecken beziehen. Da die Geschwindigkeit per definitionem aber ein ZEIT-bezogener Weg ist, funktioniert die „normale“ arithemtische Mittelung nur bei gleichen Zeiten (bei ungleichen Zeiten eben die „gewichtete arithmetische Mittelung“), aber nicht bei gleichen Strecken (und schon gar nicht bei ungleichen).

Wie hilft man sich da?

Man stellt die Formel geschickt nach der gesuchten Geschwindigkeit um und nutzt in unserem Fall, dass Hinweg und Rückweg gleich s sind:

v(gesamt) = vg = s(gesamt)/t(gesamt) = (s1+s2)/(t1+t2)

= (s1+s2)/(s1/v1+s2/v2)    (und mit s1=s2=s ergibt sich)

= 2s/(s/v1+s/v2) = 2/(1/v1+1/v2)    (und weiter)

2/vg = 1/v1 + 1/v2

1/v2 = 2/vg – 1/v1

v2 = 1/(2/vg – 1/v1) = vg/(2-vg/v1)

Am letzten Ausdruck erkennt man, dass der Nenner Null wird, wenn v1 halb so groß wie vg ist. Ist es noch kleiner, müssten wir mit negativer Geschwindigkeit bergab rasen, was immer das auch bedeuten soll (weiter bergauf oder in die Vergangenheit??).

Diese Mittelwertbildung nennt man „harmonisch“ und kennt sie eigentlich aus der Elektrotechnik, wenn man den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung aus den Einzelwiderständen berechnen soll. Würde man auf die „mittlere“ Widerstandswirkung der einzelnen Bauelemente zurückschließen wollen, müsste man den Gesamtwiderstand mit der Anzahl multiplizieren (denn es addieren sich ja in Wirklichkeit die Leitwerte…).

Die allgemeine Formel für das gewichteten harmonische Mittel wäre dann

xm(harm) = (w1 + … + wn)/(w1/x1+   +wn/xn)

Dieses Beispiel sollte demonstrieren, dass man vorsichtiger sein muss, als man in der Schule gelernt hat.

Systematisch geht das so mit den Mittelwerten:

Zu den Ersatzwerten für Gruppen von Objekten gehören Mittelwerte und Streuwerte, um die Gruppen charakterisieren zu können (entweder um die Gruppen einzeln einfacher berechnen zu können oder um sie voneinander unterscheiden zu können).

Spezifizierung der Mittelwerte

Wichtige Frage: Um welche Skalierung handelt es sich bei den betrachteten Werten und also Ersatzwerten?

Die Mittelwerte sind entsprechend unterschiedlich zu bestimmen und haben unterschiedliche Tragweiten:

(Da die arithmetischen Mittel auch als Differenzen geschrieben werden können, unterscheiden sich die beiden ersten Skalen darin nicht.)

Das arithmetische Mittel darf nicht auf ordinale Werte wie Schulnoten angewendet werden, um Schüler oder Klassen zu vergleichen, was aber selbst Mathelehrer oft nicht wissen. (Grund: Die „Punkt-Spannen“ für jede Note sind unterschiedlich groß, weshalb die Durchschnittspunktzahl NICHT auf die Durchschnittsnote fallen MUSS.)

Einschränkung der Streuwerte

„Im Mittel ist der Teich einen halben Meter tief, und trotzdem ist die Kuh darin ertrunken!“

Die Streuwerte sollen einen Eindruck davon machen können, wie sehr alle Werte um den Mittelwert schwanken. Das hilft zum Beispiel bei der Einschätzung der Qualität bei der Einhaltung von Maßen und bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bestimmter Vorfälle.

Hier sind verschiedene Werte üblich, die unterschiedliche Vorzüge und Nachteile aufweisen. In naturwissenschaftlich-technischen Zusammenhängen bevorzugt man Werte, die die gleiche Dimension wie die betrachtete Größe haben, zum Beispiel die Standardabweichung. (In der Soziologie und besonders der Volkswirtschaft werden auch „Ungleichverteilungen“ betrachtet, wie der „Gini-Ungleichverteilungs-Koeffizient“, der die relative Abweichung von der Gleichverteilung beschreibt. In der Mathematik ist die „Varianz“ beliebt. Die statistischen Verteilungen werden nach ihren Erfindern benannt wie Poisson, Lorentz, Cauchy, Gauss o.a.m. oder einfach „Normal-V.“ u.a.

Solche Streuwerte und Verteilungen sind auf die beiden numerischen Skalierungen beschränkt. Sie spielen für die Strukturen eine untergeordnete Rolle und müssen deshalb hier nicht weiter behandelt werden.

Erweiterung der numerischen Mittelwerte auf stetige Gebilde

Wenn man einen Mittelwert einer stetigen Funktion bilden will, so teilt man deren bestimmtes Integral über einen betrachteten Bereich durch die Größe desselben.

Weitere Erweiterung der Mittelwerte um „gleitende Mittelwerte“

Im Unterschied zu historischen Betrachtungen an der Börse, wo gleitende Mittel über den vergangenen Zeitraum gebildet werden, sind in der Technik „glättende“ Mittelwerte durch „gleitende“ Integral-Bereiche üblich. Damit kann man stark im symmetrischen Fall der „Faltungsfunktion“ (unterm Integral multipliziert) schwankende Messwerte „glätten“ oder im antisymmetrischen Fall sanfte Kanten „schärfen“ (siehe auch Bildbearbeitung!).

Das ist für Struktur-Untersuchungen schon interessanter!

Fazit:

Selbst bei so harmlosen Begriffen wie „Mittelwert“ sollte man genau hinsehen, worauf er sich bezieht und ob er sinnvoll eingesetzt wird.

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