Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.6.3.2 Geschwindigkeitsprofile in ausgewählten Galaxientypen

Es soll schrittweise untersucht werden, ob man Geschwindigkeits-Profile für bestimmte Klassen von Galaxien selber berechnen kann.

(vgl. auch allgemeine Überlegungen in der Übersicht 2.8.7)

Grund-Gewissheit:

In einer Entfernung, die „groß gegen die Ausdehnung einer Masseverteilung“ (also etwa ab hundertfacher Entfernung) ist, entspricht deren Kraftfeld jener einer Punktmasse oder einer homogenen Kugel. Da wir aber gerade die Geschwindigkeiten im Inneren oder am Rande einer Galaxis betrachten wollen, nützt uns diese Aussage nur zu Vergleichszwecken, um die Tendenz der Änderungen verbal – also vergleichend – beschreiben zu können.

(Auch schon im Sonnensystem sind die Planetenbahnen innerhalb eines Systems zu berechnen, weil eben die Wechselwirkung mit den anderen Planeten nur in erster Näherung zu vernachlässigen ist. Später, bei weiterer Präzisierung, kommen außerdem noch Abweichungen von der Kugelform und relativistische Effekte hinzu, wenn man mit den reinen Keplerschen Gesetzen vergleichen will…)

Gewissheit 1:

Im Inneren einer homogenen Kugel wächst die Zentripetalkraft (Schwerkraft) proprotional mit dem Radius:

Fz(r) = K*r = m*v²/r  -> v = √(K/m) * r

Das führt erstens zu der bekannten – von der Auslenkung unabhängigen – Schwingzeit eines harmonischen Schwingers, und, weil alle Komponenten hier linear kombiniert werden, zu synchronen Kreisbahnen, d.h. jede Ebene der homogenen Kugel, die den Mittelpunkt enthält, rotiert wie ein Festkörper, d.h. die räumlichen Beziehungen ihrer Teile bleiben unverändert. Die Bahnen der Sterne zweier gegeneinander geneigter Ebenen – und das sind schließlich alle – kreuzen sich allerdings, wodurch sich nicht der gesamte Kugelsternhaufen wie ein Festkörper – nämlich um eine einzige Achse – drehen kann!

Geht man davon aus, dass der Gesamtdrehimpuls des Kugelsternhaufens nicht verschwindet, gibt es eine Vorzugs-Drehrichtung aller Teile. Das führt zweitens dazu, dass durch häufige und im Mittel wahrscheinlich ausgleichend wirkende paarweise Wechselwirkung die Kugelform irgendwann in eine Ellipsoidform übergeht.

Geht man weiterhin davon aus, dass bei Paarwechselwirkungen „Schleudereffekte“ auftreten, wird bevorzugt in der Rotationsebene eine Verwaschung des Randes des Sternhaufens auftreten, der drittens dazu führt, dass man eine typische Galaxienform erhält, die man sich aus einem Ellipsoid im Zentrum und einer flacher und dünner werdenden Scheibe am Rand vorstellen kann (Spiralarme lassen wir noch weg).

Eine solche Superposition von Ellipsoid (zentrale Ausbuchtung) und Hyperboloid (periphere Ausdünnung) wollen wir für die Modellrechnung ansetzen. Dabei sollen zu Vergleichszwecken Dichte-Änderungen als Funktion des Radius möglich sein. (Als dritte Komponente kann ein zentrales Schwarzes Loch dienen, dessen Kraftwirkung in erster Näherung – nichtrelativistisch – einfach addiert werden kann.)

Um die Wirkungen auf das Geschwindigkeitsfeld leichter vergleichbar zu machen, muss die Gesamtmasse der Galaxis als konstant vorausgesetzt werden.

Gewissheit 2:

Für rotationssymmetrische Masseverteilungen, die von der Kugelform abweichen, sind die Rosetten-Trajektorien in der Rotationsebene und die päzedierenden Rosetten im 3D schon weiter oben (z.B. 2.8.3.2 und Unterpunkte sowie weitere) behandelt worden. Keine davon verändert die mittlere radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit über alle Teilnehmer gemittelt und kann deshalb für die hier anstehende Frage vernachlässigt werden, indem man einfach mit Kreisbahnen rechnet.

Gewissheit 3:

Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit eine vernachlässigber kleine Probemasse sowohl innerhalb als auch außerhalb der Galaxis angebracht werden, um das Beschleunigungspotential und also die Kreisbahngeschwindigkeit rückwirkungsfrei „messen“ zu können.

Modell-Schritt 1: Inneres und Äußeres eines scharf begrenzten Kugel-Sternhaufens konstanter Dichte

Zur Gewissheit 1 (s.o.) kommt noch die Gewissheit 4 hinzu, nämlich dass außerhalb einer homogenen Kugel (oder aus homogenen Einzelschalen zusammengesetzter Kugel oder in hinreichend großem Abstand, aus dem die Galaxis als Punkt erscheint) die Geschwindigkeit mit der reziproken Wurzel des Radius fällt:

Fz(r) = K/r² = m*v²/r  -> v = √(K/m) / √r

(Zum besseren Vergleich sind in diesem und den folgenden Diagrammen die Winkelgeschwindigkeiten – jeweils grüne Kurve – etwa am Rand der Struktur auf etwa 1 eingerichtet.)

Modell-Schritt 2: Inneres und Äußeres eines scharf begrenzten Rotations-Ellipsoid-Sternhaufens konstanter Dichte

Wir haben uns weiter oben die Gewissheit 5 erarbeitet, dass jegliche Abweichung von der kugelsymmetrischen Masseverteilung zu einer Änderung des Kraftfeldes führt und somit auch zu einer Veränderung des Geschwindigkeitsprofils führen muss.

Ganz allgemein gilt, wenn die Funktion Fz(r) ermittelt ist:

Fz(r) =  m*v²/r  -> v = √(1/m) * √[Fz(r)*r]

Aus den schon ermittelten Werten für diverse homogene Rotations-Ellipsoide identischer Masse kann man also sowohl die Kreisbahn-Geschwindigkeits-Profile als auch die Winkelgeschwindigkeits-Profile ableiten. Das sieht dann so aus (die Kugel ist jeweils schwarz gezeichnet):

Kraft-Profile

Kreisbahn-Geschwindigkeits-Profile

Winkelgeschwindigkeits-Profile


Die wichtigste Erkenntnis ist, dass auch im homogenen Ellipsoid-Inneren konstante Winkelgeschwindigkeiten herrschen, interne Strukturen also stabil bleiben und sich also nicht Schlieren („Spiralen“) ausziehen. Eine Galaxis mit etwa homogener Massendichte, die helle „Balken“ enthält, kann diese im Bereich ellipsoidischer Form also über mehrere Umdrehungen behalten, sofern die nicht hellen Bereiche etwa die gleiche Dichte haben, also anstelle „koagulierter“ leuchtender Sterne ein lichtdurchlässiges Gas gleicher mittlerer Dichte.

Überschlag: Kommt ein Stern von Sonnenmasse auf 1000 Kubik-Lichtjahre (mittlerer kubischer Abstand zwischen den Sternen von 10 Lj), müsste das entsprechende Gas eine Dichte von 2*10^30 kg / 1*10^48 m³ = 2*10^-18 kg/m³ haben. Das wäre etwa ein Wasserstoff-Atom pro mm³. Das ist genau die Teilchen-Dichte, die für gealterte (expandierte)  planetarische Nebel (10³/cm³) bei Wiki angegeben wird.

https://de.wikipedia.org/wiki/Planetarischer_Nebel#Physikalische_Eigenschaften

UND: Man erkennt im Vergleich mit dem Diagramm der dazugehörigen Kraftfelder, das eine größere Abplattung höhere Kreisbahn-Umlauf-Geschwindigkeiten erzeugt (auch wenn die Spitzenwerte der Kraft sinken!), weil dort die Bahnkrümmung geringer ist! (Es sei an die Rosetten erinnert, die hier statt der Ellipsen den Kreis ersetzen, wenn Drehimpuls und Energie nicht im Sinne der Kreisbahn zusammenpassen.)

Im folgenden betrachten wir diverse Extremfälle, um sie einzeln zu verstehen, bevor wir sie variabel superponieren:

Als ersten Extrem-Fall kann man einmal einen Kreisring betrachten. Dort ist natürlich im Inneren nicht mit einer stabilen Kreisbahn zu rechnen, weil ja Anziehungskraft und Fliehkraft in die gleiche Richtung zeigen und sich nicht aufheben können. trotzdem ist der Fall interessant, weil er später in Superposition mit anderen Galaxis-Elementen (oder schon beim Saturn!) auftreten kann.

Als zweiten Extrem-Fall kann man eine Kreisscheibe konstanter Dichte annehmen und ihr inneres und äußeres Kraftfeld berechnen und daraus das Geschwindigkeits-Profil bestimmen:

Man sieht, dass es „exakt“am Rand der Scheibe eigentlich eine Polstelle geben sollte, was physikalisch natürlich eine Unmöglichkeit darstellt und hier deshalb etwas „aufgerauht“ wurde. Interessant ist die über weite Bereiche wiederum konstante Winkelgeschwindigkeit!

Modellschritt 3: Inneres und Äußeres einer Kreisscheibe mit einer nach außen sinkenden Dichte

3a: reziprok sinkende Dichte

Etwas besser an die reale Masseverteilung in einer Galaxis angenähert wäre eine Kreisscheibe mit wiederum dem Radius 2 und mit einer zum Radius reziproken Dichte, das heißt, die Masse je Kreisring gleicher Breite wäre konstant:

Hier ist die Kreisgeschwindigkeit im Inneren etwa konstant.

3b: doppelt reziprok sinkende Dichte

Jetzt nimmt also die Masse jedes Kreisringes reziprok zum Radius ab:

Hier wird der Übergang von der Kreisscheibe zur Umgebung langsam fließend (hängt vom gewählten Radius der Scheibe ab…) und erinnert schon an die Gegebenheiten einer Punktmasse.

3c: Ein Zwischending von homogen und reziprok sinkend wäre eine mit der reziproken Wurzel des Radius sinkende Dichte:

Nun haben wir die Tendenz erkannt, die eine nach außen abnehmende Dichte einer Kreisscheibe bewirken kann.

Interessant wäre also nun, ob die Aufwölbung zu einem inhomogenen Ellipsoid neue erkenntnisse bringen kann!

Modellschritt 4: Rotationsellipsoid mit veränderlicher  Dichte

Zuerst mit dem Spezialfall einer Kugel

4a: reziprok sinkende Dichte

4b: doppelt reziprok sinkende Dichte (konstante Schichtmasse)

4c: dreifach reziprok sinkende Dichte

4d: Wurzel-rezirpok sinkende Dichte

Etwas besser an reale Fälle angenähert ist die Berechnung für ein (in natura immer flaches) Ellipsoid, (zuerst homogen schon weiter oben behandelt), nun mit nach außen sinkender Dichte:

4e: reziprok sinkende Dichte

4f: doppelt reziprok sinkende Dichte (konstante Schichtmasse)

4g: dreifach reziprok sinkende Dichte

4h: Wurzel-reziprok sinkende Dichte:

 

Modellschritt 5: Superposition

Eine rein mathematische Superporition ist der übergang von Potenz-Funktionen zu Exponentialfunktionen (da diese als Taylor-Reihe von Potenzfunktionen aufzufassen sind).

Man kann hier die Abmessungen des Rotations-Ellipsiods und die „Abklinglänge“ der Dicht unabhängig voneinander einstellen und die Effekte studieren. Hier eine kleine Auswahl:

5a:

Kleine Abklinglänge ähnelt einer Punktmasse

5b2:

5b3:

Hier ist die Abplattung des Ellipsoids gegenüber der vorigen Abbildung erhöht worden

5c:

In Abhängigkeit von der Abklinglänge erscheinen Ähnlichkeiten mit der inhomogenen Scheibe, was nicht anders zu erwarten war.

Man erkennt auch hier, dass die Geschwindigkeiten vor allem im Außenbereich mit wachsender Abplattung deutlich zunehmen.

Zieht man gemessene Geschwindigkeits-Profile echter Galaxien zum Vergleich heran, so kann man sehen, dass sie sich durch Überlegerung („Superposition“) der oben erzeugten erklären lassen:

Damit ist die „Natur“ der Gravitationsquellen natürlich noch nicht geklärt: „Helle“ oder „dunkle“ Materie?

Nun also die „echte“ Superposition.

Es stehen uns nun viele unabhängig voneinander zu variierende Parameter zur Verfügung, um Bilder wie das obige nachzubauen:

Gesamtmasse, Aufteilung der Masse auf fünf geometrische Typen mit jeweils variabler Grundgröße (Punkt, Kugel, Scheibe, Ring, Ellipsoid variabler Abplattung) und jeweils variabler Masseverteilung innerhalb der Typen (Exponential-  und Potenz-Funktionen diverser „Stärke“).

Es ist schier unmöglich, alles hier wiederzugeben. Aber es ist möglich, eine riesige Formenvielfalt real existierender rotationssymmetrischer Galaxien „nachzubauen“ und auf diese Weise indirekt zu verstehen.

Schwieriger wird es, wenn man azimutale Unregelmäßigkeiten nachbauen will („helle“ „Spiralen“ oder „Balken“ zum Beispiel).

Vorher noch spezielle Fälle:

– Ring-Galaxis 2.8.6.3.3

– Balken-Galaxis 2.8.6.3.4

Und noch viel schwieriger wird es, wenn man mit einem dynamischen Modell die Entwicklung eines Sternhaufens hin zum jetzigen (postulierten!) Zustand nachverfolgen will (kommt dann später noch). Bei welchem Zustand sollte man starten??

 

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