Joachim Adolphi

2.4.1.1.2 Elastische Schwingungen

• Joachim Adolphi
• Sonntag, 17. September 2023
• Samstag, 30. September 2023
• Elastizität, Federkette, Fourier-Analyse, gekoppelte Federn, Oberton, Schwingung, Stab, Ton, Welle

Kann man die elastischen Schwingungen eines Stabes so berechnen, dass man seine „Töne“ und „Obertöne“ direkt ermittelt? Solche Stäbe sind ja als Bauteile von Musikinstrumenten in abgewandelter Form bekannt: Xylophon, Triangel, ja selbst die alte Stimmgabel gehört dazu, und auch in der Mundharmonika schwingen Metallplatten.

Zuerst muss man sich sicherlich die Ziele genauer formulieren, damit man schrittweise vorgehen kann. Wie man weiß, bin ich zu faul für eine große zahl analytischer Tricks, um die dazugehörigen Differentialgleichungen zu lösen. Lieber nehme ich die Gleichungen als solche zum Ausgangspunkt für numerische Berechnungen. Das hat sich auch beim Finden statischer Strukturen wie gebogener Federketten und gebogener Federflächen (siehe weiter unten unter 2.4.2.1) bewährt, die dynamisch als zeitlicher Endpunkt einer gedämpften Bewegung hin zum Gleichgewicht verstanden worden sind.

Hier wird es etwas komplizierter, weil vielfältiger. Ein Stab kann dreierlei Schwingungen ausführen:

– Longitudinal-Schwingung

– Transversal-Schwingung

– Torsions-Schwingung

Der Stab kann verschieden eingespannt sein:

– gar nicht

– einseitig am Ende

– zweiseitig am Ende

– einfach oder mehrfach zwischen den Enden

Der Stab kann eine unterschiedliche Querschnitts-Geometrie haben.

Und vor allem kann die Startsituation (Anschlag) völlig verschieden sein.

Trotzdem darf man davon ausgehen, dass selbst bei unterschiedlichen Start-Konfigurationen die gleichen Frequenzen vorkommen, nur anders spektral gemischt. Deshalb ist es didaktisch und aus Fehler-Fortpflanzungs-Gründen sinnvoll, vom Einfachen zum Komplizierten vorzugehen, um jederzeit den Kontakt zur Plausibilität der Ergebnisse beibehalten zu können.

Einfachster Start mit Überlegungen, die schon an anderer Stelle gemacht worden sind:

Wir nehmen eine longitudinale Diskretisierung eines elastischen Stabes als „Federkette“ vor. Lassen wir diese Kette senkrecht hängen, setzen sie also der Schwerkraft aus, so lässt sich die Dehnung jeder Feder leicht unmittelbar berechnen (auf jede wirkt nur die Summe der unter ihr hängenden Massen) und kann also als Probe für unsere dynamisch (über numerische Zeit-Integration) ermittelte Gleichgewichtsform dienen. Hier kann man sogar noch weiter abrüsten und die Schwerkraft schrittweise auf Null reduzieren. Dann müssten alle Federn in der kraftfreien Länge vorliegen. Damit sich das System „aus der Schwingung in die Gleichgewichtslage“ beruhigen kann, wird noch eine verstellbare Dämpfung eingebaut. Die Massen selbst kann man („ohne Einschränkung der Allgemeinheit“ nur im 1-dimensionalen Fall!) als Punktmassen annehmen.

Im einfachen Falle der proportionalen Elastizität nach HOOKE können wir für die Federkraft dann schreiben

dF = k*dl

(Kraftänderung dF der Feder proportional zur Längenänderung dl der Feder, mit k als „Federkonstante“)

Integriert ergibt das für die i-te Feder, wenn alle Federn die gleiche entspannte Länge lo und die gleiche Federkonstante haben:

l(i) = lo + (1/k)*F(i)

F(i) ist die Federkraft, die an beiden Federenden im Betrag gleich, in der Richtung aber entgegengesetzt ist („Kräftepaar“).

Man muss den Gedankengang für die dynamische Zeit-Intagration aber undrehen und sagen, an jeder Masse m(i) setzen zwei Federkräfte (und ggf. eine Schwerkraft) an, wobei die Federkräfte (wie auch die Schwerkraft) die jeweilige  Masse beschleunigend beeinflussen, also ihre Geschwindigkeit nach Newton verändern.

Ein „ausgeschwungener“ Gleichgewichtszustand bedeutet dann also, dass

– alle Massen in summa kräftefrei (also beschleunigungsfrei) sind

und außerdem

– alle Massen ruhen

(allein beschleunigungsfrei könnte ja auch geradlinig gleichförmig bewegt sein!).

Schrittweises Vervollständigen des Modells

A: 1 Masse und 1 Feder (Feder am Gestell befestigt)

Am besten testet man das mit einer einzigen Masse an einer einzigen Feder, dann mit zwei Massen und dann mit drei und dann mit „vielen“, also erst einmal 15. Was wird „getestet“? Ob ein „Nicht-Gleichgewichts-Zustand“ dynamisch in einen Gleichgewichts-Zustand übergeht, der identisch mit der einfachen statischen Berechnung ist.

Und dann testet man gleich noch mit, ob die Schwingungsfrequenz der erwarteten entspricht, nämlich der aus der Schwingungsgleichung (siehe dort) folgenden.

Ich habe vorerst 2000 Integrationsschritte vorgesehen, habe die Schrittweite so eingestellt, dass reichlich anderthalb Schwingungen stattfinden können, habe einen Startpunkt (also eine Federlänge) und eine Startgeschwindigkeit der Masse an diesem Ort festgelegt (das sind in der Sprache der Integralrechnung die Anfangsbedingungen zur Lösung der Differentialgleichung) und dann beobachtet, was mein „EXCELperiment“ so ergibt. Die Masse soll 1 sein, die Federkonstante auch 1. Theoretisch ergäbe sich eine Kreisfrequenz  von

w² = k/m = 1

also eine Periode von 2*pi = 6,28318531. (Alle Einheiten 1 gesetzt.)

Die aus dem Diagramm abzulesende Periode ist etwa 6,3, die Tabellen-Interpolation ergibt etwa 6,28318021.

Die Fourieranalyse ist etwas problematisch, weil nur wenige Perioden vorliegen, aber wenn man den Startwinkel einigermaßen berücksichtigt, kommt man händisch* in der EXCEL-Tabelle ebanfalls auf w=1,00, also auf einen Fehler unter 1%.

(„Händische“ Fourier-Analyse besagt hier, dass man eine Vergleichs-Schwingung mit variabler Kreisfrequanz und Phase ansetzt, mit der gemessenen Schwingung zu jedem Zeitpunkt multipliziert und die Summe der Produkte bildet. Wird diese im Betrag maximal, hat man die „richtigen“ Werte der gemessenen Schwingung ermittelt.)

Vergößert man die Federkonstante auf 100, so erhält man die zehnfache Frequenz:

Hier ergibt die Fourier-Analyse ebenfalls wie im Diagramm und im Daten-Ansatz ein w=10,0. Die Start-Winkel-Abhängigkeit ist schon deutlich reduziert, weil der Rest-Anteil der nicht ganz ausgeführten Schwingung relativ zur Gesamtzeit gesunken ist.

Auch die Veränderung der Amplitude oder der Phase durch andere Anfangsbedingungen (durch Startpunkt und Startgeschwindigkeit) ändert nichts an der Frequenz der Schwingung (die der hauptsächliche Untersuchungsgegenstand in diesem Abschnitt ist), wie man aus der Theorie erwarten durfte.

Was aber passiert durch Hinzufügen einer Schwerkraft, die in Richtung der Feder wirkt, also die Eindimensionalität der Anordnung nicht verändert? Die Theorie sagt, dass dadurch lediglich der Gleichgewichtspunkt der Schwingung nach unten verschoben wird, weil der lineare Ansatz für die elastische Kraft den Charakter der Größe „Ort“ als intervallskaliert nicht ändert. Prüfen wir es:

In der Tat zeigt auch die Prüfung mittels Fourier-Analyse für die Frequenz keine Änderung (wie schon der Augenschein des Diagramms vermuten lässt)!

Für komplexere Schwingungszustände, wie sie in der Zukunft unserer Modell-Erweiterung zu erwarten sind, werden wir also einen Algorithmus für das automatische Durchfahren der Test-Frequenz erstellen, in dessen Ergebnis ein Frequenzspektrum entstehen soll, das die Grundschwingung und die Obertöne darstellen kann. Bis dahin wollen wir aber erst einmal das mechanische Modell schrittweise erweitern:

B: 2 Massen an 2 Federn (eine Feder am Gestell fest)

Ein willkürlicher Set von Anfangsbedingungen (beide Startorte und beide Startgeschwindigkeiten der gleich großen Massen an gleichen Federn) zeigt sofort ein viel komplexeres Bild (jetzt sind statt 2000 Zeitschritten 8000 gewählt, um die Feinheiten besser darstellen zu können):

Man ahnt mit etwas „Seh-Erfahrung“, dass hier zumindest zwei Frequenzen überlagert sind. Man ahnt außerdem, dass man beide durch geeignete Anfangsbedingungen einzeln erzeugen kann: gleichgerichtete und entgegengerichtete Startwerte. Prüfen wir diese Hypothese:

Zählt man einfach die Zahl der Schwingungen in der gleichen Zeit, erkennt man, dass knapp 8 Schwingungen in 80 s parallel etwa 20,5 Schwingungen antiparallel gegenüberstehen. Bleibt das Frequenzverhältnis auch bei veränderten elastischen Werten (Masse oder Federkonstante) bestehen 8wegen des linearen Ansatzes sollte man davon ausgehen können!)?

Richtig! Bei Verdopplung der Federkonstante sind es 11 gegen 29 Schwingungen, bei Vervierfachung 15,7/41, also genau doppelt so viele wie oben, was theoretisch zu erwarten war. Woher kommt aber das eigenartige Verhältnis von etwa 2,6 zwischen beiden Frequenzen? (Müssen wir später untersuchen, wenn wir weitere Massen hinzunehmen.) Und: Wird es durch die Schwerkraft verändert?

Das Frequenzverhältnis ist das gleiche wie im schwerkraftfreien Fall.

Der allgemeine Fall mit Schwerkraft und Dämpfung (zur Prüfung des Gleichgewichts-Falls) sieht dann so aus:

Richtig zufrieden darf man aber erst dann sein, wenn man auch den umgekehrten Modellierungsfall als Probe absolviert hat: Fourier-Synthese der aus dem Spektrum gefundenen Frequenzen zum Gesamtbild der Schwingung. Dazu kann man die „händisch“ ermittelten Frequenzen in Amplitude und Phase schrittweise (wiederum „händisch“) ändern, um das Gesamtbild möglichst genau zu „komponieren“.

Machen wir einen Versuch für die Masse m2, die unten an der Masse m1 hängt:

Bis auf die Feinheit des Starts (Phase) sind die beiden Bilder überraschend ähnlich geworden, was man durch viel Arbeit noch ein wenig verbessern kann. Aber die Haupt-Hypothese ist bestätigt: Man kann aus zwei Grundschwingungen die chaotisch erscheinende Überlagerung tatsächlich synthetisieren, was im Umkehrschluss bedeutet, dass die Originalschwingung im wesentlichen nur aus zwei Komponenten besteht.

C: 2 Massen an 1 Feder (frei schwebend miteinander verbunden: „Hantel“)

Wie würde denn ein Hantel aus 2 identischen Massen, verbunden durch eine einzige Feder,  schwingen, wenn ihr Schwerpunkt der Koordinatenursprung ist?

Ich habe mich lange gewundert, welche Massen ich bei gleicher Federkonstante einstellen muss, um auf die gleiche Frequenz der Gegen-Schwingung (einzige mögliche Schwingungsform) zu kommen:

Wie kann man das erklären? Man sollte doch denken, dass im rechten Diagramm-Fall nur jeweils m=1/2 stehen müsste, weil beide Massen dann zusammen so schwer wie die eine links wäre?? Denn schließlich sind in beiden Fällen identische Federn eingesetzt!

Ob der Energiesatz helfen kann?

Die potentielle Energie, die in einer Feder gespeichert ist, ist

Epot = (k/2) * x²

k und maximale Dehnung sind in beiden obigen Fällen gleich eingestellt, also sind auch beide Epot identisch. (Die Frequenz ist übrigens unabhängig von der Amplitude, wie wir schon wissen… Aber für die Energie-Betrachtung über den Vergleich der beiden Fälle benötigen wir der Einfachheit halber identische Werte von der Dehung x!)

Im entspannten Zustand der Feder ist ihre Energie völlig in die kinetische Energie der Massen übergegangen:

links: Ekinl = (ml/2)*vl²

rechts: Ekinr1 = Ekinr2 = (mr/2) * vr²

Ekinr = Ekinr1 + Ekinr2 = mr * vr² = 2ml * (vl/2)² = (ml/2)*vl² = Ekinr

Da bei der Gegenbewegung zweier Massen nur von jeder der beiden der halbe Weg zurückgelegt werden muss, um die Feder zu entspannen, liegt auch nur die halbe Geschwindigkeit vor (vr= vl/2), was beim Quadrieren ein Viertel ergibt.  Verdoppelt man jede Einzelmasse, ist das ausgeglichen (mr=2*ml) – fertig ist die Lösung des Rätsels.

D: 3 Massen an 3 Federn in Reihe

Ob es einen qualitativen Unterschied zu 2 Massen gibt?

Es fällt auf, dass die am Gestell befestigte Masse Oberschwingungen zeigt, die die unteren weniger aufweisen. Das könnte eine numerische Fortpflanzung sein, sozusagen eine „unechte Schallgeschwindigkeit“. Das ließe sich mit Veränderung des Zeittakts prüfen:

Hier wurde also nicht das Diagramm gedehnt, sondern wirklich, der Zeittakt geviertelt, die Anzahl der 8000 Takte also nicht verringert. Da alle drei Massen aus der Ruhe gestartet worden sind, handelt es sich also nicht um einen sogenannten „Artefakt“.

E: 7 und mehr Massen an Federn in Reihe

Wir erhöhen die Massen-Anzahl und sehen, was passiert:

Es bestätigt sich der Eindruck, dass die mittleren Massen einer harmonischen Schwingung am nächsten zu sein scheinen, während die äußeren Masen „Randeffekte“ zeigen. Bei genauerem Hinsehen haben wir aber unten eine Dreieck-Schwingung und in der Mitte eine Trapez-Schwingung!

Hier lohnt es sich also, weiter zu spielen! Aber mit welchem Ziel??

Am Ende wollen wir Töne und Obertöne ermitteln. Dazu machen wir vorerst noch „Extrembeispiele“ von Konfigurationen, um gemischte Beispiele dann besser interpretieren zu können.

Zuerst entkoppeln wir die Kette vom Gestell und ziehen sie auseinander, um zu sehen, ob wir sie gegeneinander schwingen lassen können. Das klappt:

Danach probieren wir es mit einem Schlag gegen die letzte (untere) Masse, wir setzen sowohl die Startposition als auch eine Startgeschwindigkeit nach innen oben):

Wir erkennen, dass eine Welle durch den Stab läuft, am festen Ende reflektiert wird und zurück läuft. Mit etwas Phantasie erkennt man auch am freien Ende eine Reflexion. Um die Frage beantworten zu können, ob das ein numerischer Artefakt der Taktzeit ist, ändern wir diese und vergleichen die Laufzeit der Welle (oben hin und zurück in etwas mehr als 5 s):

Erfreulicherweise haben sich weder Laufzeit (reichlich 5 s) noch interne Zappel-Schwingungs-Frequenz geändert, was eindeutig dafür spricht, dass beide Effekte keine Artefakte sind. (Bei 8000 Takten hätten Artefakte auch ganz anders aussehen müssen…)

Wir haben es hier also mit einer Art „Schallgeschwindigkeit“ zu tun, die der Ausbreitung der Scdhlag-Verformung zugrundeliegt. Würde denn eine Änderung der Federkonstante diese Geschwindigkeit (oben 56cm/5s = 11cm/s) beeinflussen?

Da lacht das Herz des EXCELperimentators! Tatsächlich hat sich die Schwingzeit bei Vervierfachung der Federkonstante (theoriekonform!) halbiert und damit die „Schallgeschwindigkeit“ verdoppelt! (Auch die Zappeleien – eine Art „thermische Schwingungen“ – sind natürlich doppelt so schnell.) Das Modell scheint also nicht ganz falsch zu sein!!!

Die Frage ist jetzt also, ob die durchlaufende Welle genutzt werden kann, um eine „Ton-Frequenz“ des Stabes zu erklären?

Zuerst ändern wir die Einspannung: jetzt beidseitig. Der Schlag (soll longitudinal sein, was technisch schwierig ist) erfolgt jetzt in der Mitte des Stabes:

Die Welle breitet sich nun in beide Richtungen aus und überlagert sich am besten in der Mitte des Stabes abwechselnd auslöschend und „kabbelig“ nach jeweils etwa  2,5 s. Auch hier also die gleiche „Schallgeschwindigkeit“. Das sich das Geschehen mit der Zeit chaotisch zu entwickeln scheint, liegt an der unsymmetrischen Versuchsanordung beim Start. Man müsste zwei innere Massen bei einer insgesamt geraden Anzeahl gegeneinander starten lassen. Bei 15 Massen etwa so: (eine chaotische Entwicklung sollte also trotzdem erscheinen…)

Perfekt! Die ungleiche Anzahl der „Rand-Massen“ wirkt langsamer als der unsymmetrische Schlag vom obigen Versuch!

Was passiert bei einem Stab OHNE Einspannung?

Jetzt fehlen die äußeren Federn als Verbindung zum Gestell, weshalb die Laufzeit (bei gleicher Schallgeschwindigkeit) kürzer wird. Die äußeren Massen schwingen etwas weniger, im Inneren ist wenig Unterschied zu merken.

Da eine Energie-Aufnahme des Gestells nicht im Modell enthalten ist, wirkt es also nicht dämpfend, sondern nur reflektierend. Sein Fehlen verlegt also die Stärke (Amplitude) der ehemals äußeren Schwinger „in nullter Näherung“ eine Position nach innen, wie man am Diagramm etwa erkennen kann.

Ein Ansatz für „Oberwellen“ ist bei der bisherigen Versuchanordnung im Ansatz  zu erkennen, wenn man erklären kann, wie man einen Stab in der Mitte zu Longitudinalwellen anregt. Durch einen schrägen Schlag bei gutem Reibungskoeffizienten etwa? Ein longitudinale Komponente sollte er haben! Probiert es mit einem Holzstab aus! (Es wird schwierig sein, die Töne einzeln zu hören, aber die Klangfarbe unterscheidet sich deutlich zwischen Schlag aufs Ende und schrägem Schlag auf die Mitte!)

Beim einseitig eingespannten Stab könnte eine gute Obertonwelle entstehen, wenn der Anschlaogort so gewählt wird, dass die Reflexion am „festen“ Ende der Einspannung im Gestell und am „losen Ende“ zu einer Überlagerung wiederum am Anschlagsort führen. Das könnte man händisch pröbeln!

Wir müssen also konstatieren, dass Oberwellen und Schwebungen auftreten können, aber das Modell dafür offenbar noch zu grob ist. Deshalb besteht die Aufgabe, es mit mehr algorithmischer Akribie zu verfeinern. Das geht sicherlich nur mit VBA-Ergänzung (ein im Hintergrund laufendes VB-Programm berechnet in 10.000 Takten alle 59 Massen-Orte, trägt sie in eine Tabelle ein, aus der das Ort-Zeit-Diagramm erstellt wird) zu einer EXCEL-Tabelle.

Hier ist nun das erste Ergebnis einer Berechnung für 59 Massen mit unterschiedlicher Einspannung (einseitig, beidseitig oder ohne) bei  Anregung der Mittelmasse, der Randmasse oder beliebiger anderer als einmaliger Schlag oder (permanenter oder kurzzeitiger) Sinus unterschiedlicher Frequenz:

Gestartet wird mit der grafisch abgelesenen Schwingzeit, die sich aus der Laufzeit der Welle durch den Stab ergibt. Die „Schallgeschwindigkeit“ ergibt sich aus der Elastizitätskonstanten (hier: Federkonstante) und der Massendichte (eine Masse pro Federlänge) und ist als Bewegung der Wellenfront nach der Anregung leicht zu erkennen. (Der „Stab“ steht im Diagramm senkrecht, die Orte seiner Teile bewegen sich im Zeitablauf, der von links nach rechts geht.) Deshalb hier ein Stoß gegen das Stabende ohne Einspannung:

Man erkennt interessante Dinge:

1. Der Stoß läuft als Welle durch den Stab und zurück und hin und her und… Das konnte man erwarten.

2. Die Schwingungsenergie verteilt sich mit der Zeit auf alle Massen, der Ton wird also leiser, dafür steigt die „Temperatur“. Das konnte man nicht erwarten, wie aus dem elastischen Mehrfach-Stoß-Pendel bekannt: Alle bleiben in Ruhe, nur das letzte Pendel schwingt aus. Wir testen also, ob es ein Artefakt ist, der aus der Numerik kommt. Dazu halbieren wir die Taktzeit und vergleichen die Diagramme (auch bei „Schlag in die Gegenrichtung“ gleicher Effekt):

Wir dürfen jetzt also davon ausgehen, dass die weich-elastischen „Stöße“ rückgekoppelt sind und auch so berechnet werden. Die neue Frage ist allerdings, ob man damit einen „harten“ Stab richtig beschreibt…

Macht man eine Fourier-Analyse (je 1000 Frequenzschritte für die 10.000 Stützstellen der Schwingung jeder Einzelmasse) der Schwingung, erkennt man, dass viele ganzzahlige Obertonverhältnisse entstanden sind:

Bei den höheren Frequenzen scheint eine „thermische“ Verwischung statzufinden, die sicher auf der relativ niedrigen Zahl der gekoppelten Schwinger beruht.

Wir untersuchen aber noch, wie ein mittig einseitiger Schlag bei losen und eingspannten Enden des Stabes wirkt:

Links der eingespannte Stab, rechts der „lose“. Die zusätzlichen „Spann“-Federn verlängern den Wellen-Weg und erhöhen die Schwingzeit, ohne das Schwingungsbild strukturell zu ändern. Wieder prüfen wir (diesmal durch Verdoppelten der Taktzeit, ob das Schwebungs-Muster „echt“ ist (wieder gleiche Pixel-Belastung):

Es sind wieder keine Artefakte zu erkennen! Wie wird wohl die Schwebung weitergehen??

Wir haben also tatsächlich ein stabiles „Über-Muster“ gefunden, dass bei idealem Schwingen, also völlig ohne Dämpfung, „ewig“ bestehen bleiben würde.

Sein Frequenzspektrum hat sich gegen den seitlichen Schlag verändert, nämlich alle Frequenzen haben sich verdoppelt:

Mit etwas Dämpfung sieht es dann so aus:

Eine neue Frage ist, ob das Muster von der komnkreten Zahl der schwingenden Massen abhängt oder auch für „unendlich“ viele im Festkörper gelten könnte. Halbieren wir also die Massenanzahl von 59 auf 29 (aus diskreten Symmetriegründen):

Auch unabhängig von der Taktzeit ergeben sich die gleichen Bilder!

Prüfen wir einmal, ob es „Resonanzen“geben kann, wenn wir mit bestimmten Schwingungen anregen. Bei der „Standard“-Laufzeit für 59 Massen (eingestellt über die Federkonstante k aller einzelnen Federn und die Masse m aller einzelnen Schwinger) können wir verschiedene Einspeisungen von T=36,8s beginnen:

Verdoppeln wir die Frequenz, halbieren also die Schwingzeit, zeigen sich zum ersten Mal leichte „Knoten“ in der Schwingung des Stabes:

Wie kann man das alles verstehen? Man muss sich immer vorstellen, dass es Reflexionen an den Enden gibt, und zwar am „festen“ und am „losen“ Ende, je nach Einspannung. Diese Reflexionen überlagern sich zwischen den Rändern, löschen sich also an bestimmten Punkten aus. Da hier keine Vorrichtung eingebaut ist, die Schwingungs-Bäuche befördert oder unterdrückt oder Schwingungs-Knoten festlegt (bis auf die wahlweise unterdrückenden Einspannungen), sind die Schwingungsmuster frei wie „Kabbelwellen“ im Wasserbecken und ergeben im günstigen Fall „stehende Wellen“ mit Bäuchen und Knoten.

Weitere „Forschungen“ können  nun also starten, da wir eine ganze Menge an „Artefakten“ oben schon ausschließen konnten. Es sollten also die Frequenzen gefunden werden können, in denen stehende Muster („Strukturen“!) entstehen, die für eine spätere Fourier-Analyse der „Obertöne“ bei beliebigen Anregungen interessant wären. Diese Untersuchung führen wir für jede Einpsnn-Variante getrennt durch.

Beginnen wir mit dem frei schwingenden Stab.

Die Grundschwingung (Wiederholung, siehe oben), bei der wir eine Schwingung pro Wellendurchlauf erzeugen, hat eine Schwingzeit von