Fourier-Analyse
Wie kann man ganz einfach verstehen, was eine Fourier-Analyse ist?
Akustisches Beispiel:
Wenn man wissen will, aus welchen Frequenzen ein Geräusch besteht, so kann man sich ein Gerät denken, das lauter Blechzungen trägt, die in Resonanzschwingung geraten, wenn ihr jeweils eigener Ton im zu messenden Geräusch über eine gewisse Mindestzeit hinweg enthalten ist.
Ein mechanisches Klavier ist ein solches Gerät. Das geht so: Man drückt stumm (also langsam!) mit einem Lineal zum Beispiel alle Tasten von c“ bis c“‘ herab und spielt kuz und laut das c‘. Dieser Ton verschwindet sofort wieder, weil man ja die Taste wieder losgelassen hat und der Dämpfer die Saite anhält. Und trotzdem hört man jetzt einen leisen Klang im Klavier, nämlich die Töne c“, g“ und c“‘, die anderen aber nicht. Diese drei kann man dann noch einmal einzeln langsam drücken und gedrückt halten, um sich zu vergewissern, dass das immer klappt.
Was ist passiert? Ein physikalischer Schwinger wie eine Saite schwingt immer in mehreren Frequenzen gleichzeitig, nämlich im Grundton und in Obertönen, die ein ganzzahlig Vielfaches der Grundtonfrequenz haben. (Siehe Schwingung)
Das Klavier ist also nicht nur ein Musikinstrument, sondern auch ein Apparat für eine parallele, also gleichzeitige Frequenz-Analyse. Statt der oben erwähnten Resonanz-Zungen hat es Resonanz-Saiten, die über den Resonanz-Rahmen, auf den die Saiten gespannt sind, miteinander verbunden sind.
Warum heißt das aber nun nach Herrn Fourier? (mal googeln!)
Dieser Herr hat das verallgemeinert und eine mathematische Methode geliefert, wie man, einfach und allgemein gesagt, ein zeitliches Signal in ein Spektrum umwandeln kann. Statt der physikalische Resonanz macht er eine mathematische, er multipliziert nämlich den zeitlichen Verlauf der physikalischen Größe der Reihe nach mit Sinusschwingungen (oder Cosinusschwingungen) unterschiedlicher Frequenz und integriert das Ergebnis für jede Frequenz einzeln über einen Zeitraum, der genügend viele Schwingungen enthalten kann, damit die zufälligen Anfangs- und Endwerte des Intervalls nicht ins Gewicht fallen. Der Trick dabei ist, dass das Produkt zweier Sinusfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen im Mittel (oder integriert, was dasselbe ist) immer Null ist. Bei zwei gleichen Frequenzen aber ist es nicht Null!
Geht man also davon aus, dass jedes Geräusch als eine Summe von Sinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz und unterschiedlicher Amplitude zu verstehen ist, so muss es irgendwo Frequenzen geben, für die das Analyse-Ergebnis nicht Null ist. Stellt man dann die Ergebnisse grafisch dar, enrhält man ein „Spektrum“, also frequenzabhängige Werte. Der zeitliche Verlauf ist in ein Frequenz-Spektrum „transformiert“ worden.
Das kann man wunderbar (mit etwas Fleiß und Übung) in EXCEL erledigen. Statt des Fleißes kann auch Kenntnis in VBA helfen, damit man nicht jede Testfrequenz in einer neuen Spalte abarbeiten muss. Ein VBA-Programm macht das dann im Hintergrund und trägt nur die Ergebnuisse der Integration in die Tabelle ein, aus der dann das Diagramm entsteht.
Vor dem Integrieren sähe das so aus (zu untersuchende Schwingung blau, Prüfrequenz rot, Produkt schwarz):
Keine Resonanz, schwarze Kurve ist im Mittel Null
Resonanz (trotz unterschiedlicher Amplitude und Phase), schwarze Kurve im Mittel positiv
Die Genauigkeit des Ergebnisses hängt davon ab, wie genau man die zu untersuchende Kurve abtastet („Stützstellen-Abstand“) und wie genau man die Prüffrequenz durchfährt („Frequenz-Raster“) und wie viele Schwingungen insgesamt vorliegen. Da kommen sehr schnell viele Millionen Berechnungen zustande…
Es gibt für Profis dann noch algorithmische Tricks, das Verfahren abzukürzen, was hier nicht behandelt werden soll. Interessierte können das unter „FFT“ (fast Fourier transformation) woanders nachlesen.
Klappt das tatsächlich auch, wenn die zu untersuchende Schwingung gemischt ist?
Hier das Ergebnis für lediglich 2 Bestandteile:
keine Resonanz
langwellige Resonanz
kurzwellige Resonanz
(Schöne weitere Beispiele gibt es zum Beispiel im Abschnitt zur Musik im menschlichen Ohr und Kopf.)