Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.3 Heuristische Schritte zum Verstehen der Schwerkraft-Trajektorien

Wem das zu schnell ging in den Abschnitten 2.8.1 und 2.8.2, dem sei hier ein schrittweises Verständnis angeboten.

Wir haben alle in der Schule gelernt, dass nach Johannes Kepler (1571 bis 1630) drei Dinge klar sind:

1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen um ihr Zentralgestirn. (Das Zentralgestirn befindet sich dabei in einem der Brennpunkte der Ellipse.)

2. Der „Fahrstrahl“ des Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen der Bahnebene. (Innen ist der Planet also schneller als außen: Drehimpuls-Erhaltung, schwingender Energie-Tausch zwischen potentieller und kinetischer Energie.)

3. Die dritten Potenzen der großen Halbachsen verschiedener Bahnen (Planeten) verhalten sich zueinander wie die zweiten Potenzen der Umlaufzeiten.

Dabei haben wir zwei Dinge einfach zur Kenntnis genommen, ohne sie zu hinterfragen:

a) Warum muss das eine Ellipse sein, die im Raum fest ist? Könnte sie sich nicht im Raum (unter Beibehaltung ihrer Ebene) drehen („Perihel-Drehung“) und eine Rosette bilden, wie wir sie als Kinder gerne gezeichnet haben? (Dass niemand da ist, der sie aus ihrer Ebene herausbugsieren will, leuchtet ja ein, aber so etwas Kompliziertes wie eine Ellipse soll freiwillig eingehalten werden?)

b) Warum kann man einfach eine kugelförmige Zentralmasse und die Planeten wie Punktmassen behandeln und für das Newtonsche Gravitationsgesetz (1687) den Abstand der Mittelpunkte (Schwerpunkte!) der Massen einsetzen?

Man sieht, dass alles viel komplizierter ist, als einem die Lehrer weismachen wollten. Aber es war halt wenig Zeit für Astronomie…

Überlegung 1: Gravitationsgesetz

Warum muss im Gravitationsgesetz der Abstand quadratisch im Nenner stehen?

Wenn man davon ausgeht, dass eine Kraftquelle in den dreidimensionalen Raum wirkt und dabei richtungsunabhängig wirkt und ihre Wirkung nicht gedämpft werden kann, so muss auf jeder beliebigen Kugelschale um diese Quelle die Summe aller Wirkungen gleich sein. Da die Kugelschale ihre Oberfläche aber quadratisch mit dem Abstand zum Mittelpunkt erhöht, muss die Kraftwirkung ihrerseits quadratisch mit dem Abstand sinken. Alles klar? (Das ist auch bei elektrischen Feldern so, bei Beleuchtungsstärken und anderen Dingen, oder?)

Na gut. Und woher kommt dann die Ellipse?

Eine andere Ellipse sei aus heuristischen Gedanken-Trainings-Gründen erwähnt, nämlich die nach Lissajoux: Sie entsteht durch Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen. Und diese entstehen in einem Feld, bei dem die Kraft proportional zum Abstand ist: Je weiter man vom Ursprung weg ist, desto größer ist die rücktreibende Kraft („Elastizität“) und also die Beschleunigung eines Objekts mit „Trägheit“ (Newton). Beide Scheitelpunkte dieser Ellipse sind vom Ursprung (wo die Kraft Null ist) gleich weg, alles ist symmetrisch, in beiden Scheitelpunkten ist auch die Geschwindigkei gleich groß.

Aber hier? Im Perigäum soll bei einer Satellitenbahn eine gleich gekrümmte Bahnkurve wie im Apogäum sein? Aber dort sind doch die Geschwindigkeiten unterschiedlich, die Kräfte und also auch die Beschleunigungen – das soll sich zufällig alles genau aufheben und gleiche Kurvenkrümmungen ergeben?

Ja, es ist so. Immerhin haben wir die beiden gegensätzlichen Parameter, deren Wirkungen auf die Bahnkurve sich so überlagern, dass sie sich gegenseitig aufheben, heuristisch gefunden: Mit wenig Kraft und wenig Geschwindigkeit kann die gleiche Bahnkrümmung entstehen wie mit viel Kraft und viel Geschwindigkeit.

Wer das mathematisch analytisch aus den physikalischen Gegebenheiten des Gravitationsgesetzes nachrechnen möchte, sei auf Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze#1._Keplersches_Gesetz_(Ellipsensatz)) verwiesen, da wird das vorgerechnet. Es ist richtig schwierig!

Viel leichter ist es, mit dem einfachen Kraftgesetz (einzige unabhängige Variable ist der leicht zu berechnende Abstand) einfach tabellarisch (EXCEL) in winzigen Zeittakten die Beschleunigung zu errechnen, damit die Geschwindigkeit zu ändern und damit auch den Ort, und dann alles in einem Diagramm darzustellen – und fertig ist die Bahn. Und siehe da: Es ist eine Ellipse!

Überlegung 2: Splittung der Zentralmasse in zwei Hälften

Für die genauere Beleuchtung der Frage, ob man eine Masseverteilung bezüglich ihrer Schwerkraftwirkung durch ihren Schwerpunkt ersetzen kann, fangen wir mit dem einfachsten denkbaren Beispiel an:

Erster einfacher Fall:

Teilt man die Zentralmasse in zwei Hälften auf, die mit der „Probemasse“ (Planet) auf einer Geraden liegen, so hat man den geometrisch einfachsten Fall erwischt, denn man muss nur eine einzige Richtung beachten und kann ohne Vektoren arbeiten.

Dann verändert sich das einfache Gesetz (wir lassen ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit die Naturkonstanten und Maßeinheiten weg und nehmen als Produkt aller beteiligten Massen „1“ an, dann lautet das Gravitationsgesetz als Zusammenhang zwischen Kraft und Abstand F = 1/d², wenn die „Zentralmasse“ im Punkt x=0 liegt und die „Probemasse“ (die im Vergleich zur Zentralmasse verschwindend klein sein soll) im Punkt x=d.

Teilen wir die Zentralmasse in zwei gleichgroße Teile, die wir um die Länge a vom Punkt x=0 gegeneinander verschieben, wird die auf die Probemasse wirkende Kraft anders berechnet:

F = F1 + F2 = 1/2*1/(d+a)² + 1/2*1/(d-a)² = 1/2*(1/(d+a)² + 1/(d-a)²)

2 Punkte in Längs-Richtung der Probemasse, das Kreuz ist ihr Schwerpunkt

Wird die Kraft nun größer, kleiner, oder bleibt sie gleich?

Am besten veranschaulicht man sich das grafisch:

Die blaue Kurve zeigt den Kraft-Anstieg bei einem hypothetisch linear reziproken Kraft-Gesetz (2-dimensionales „Zylinder-Feld“), die rote beim tatsächlichen, dem quadratisch-reziproken (3-dimensionales „Kugel-Feld“).

Man erkennt, dass die „vordere“ Teilmasse offenbar mehr Kraftzuwachs vermittelt, als die „hintere“ durch Kraftverlust verliert. Das hat weitreichende Konsequenzen: Der Schwerpunkt (SP) beider Teilmassen fällt NICHT mehr mit dem virtuellen Ort (Virtuelles Schwerkraftzentrum VSZ) zusammen, von dem aus die Gesamtmasse die gleiche Kraftwirkung hätte. Hier liegt letzterer also NÄHER.

Der grüne Stern ist nun das VSZ, das virtuelle (hypothetische) Schwerkraftzentrum.

Ist das auch mit Kopfrechnen zu prüfen? Wir nehmen den Abstand 10 und die Gesamtmasse 2 und teilen sie auf.

Im hypothetischen linear reziproken Fall eines Kraftgesetzes (Zylinder) vergleichen wir 2/10 mit 1/(10-1) plus 1/(10+1):

1/9 + 1/11 = (9+11)/99 = 20/99 > 2/10 = 20/100 w.z.b.w.

(Die linke Seite der Ungleichung ist um 1 % größer: Zähler sind gleich, aber Nenner ist kleiner.)

allg.: 0,5*(1/(1+a)+1/(1-a)) = 0,5*(1+a+1-a)/((1+a)*(1-a)) = 1/(1-a²) ≈ 1+a²

Im realen quadratisch reziproken Fall des Gravitationsgesetzes (Kugel) ist es so: Wir vergleichen 2/10² mit 1/(10-1)² plus 1/(10+1)²:

1/81 + 1/121 = (121+81)/(81*121) = 202/9801 > 2/100 = 200/10000 w.z.b.w

(Die linke Seite der Ungleichung ist um knapp 3% größer: Zähler ist 1% größer, Nenner ist 2% kleiner – zweifache Wirkung in die gleiche Richtung!)

allg.: 0,5*(1/(1+a)²+1/(1-a)²) = 0,5*((1-a)²+(1+a)²)/((1+a)²*(1-a)²)

≈ (1+a²)/(1-2a²) ≈ 1+3a²

Im realen elastischen Fall des Kraftgesetzes ist es so (durch zwei baugleiche Federn gedanklich vorstellbar) wie auch beim Schwerpunkt SP (der sich ebenfalls linear berechnet):

2*10 = 20 = 20 = 1*9 + 1*11

Hier hat eine hypothetische Längs-Splittung der Kraft-Ursachen also keinen Einfluss, solange es keine mechanisch-konstruktiven Probnleme gibt.

Was ist die Konsequenz des Aueinanderfallens von SP und VSZ? Bei einer Flugbahn in solch einem Feld heben sich die Wirkungen von Geschwindigkeit (vermittels der Trägheitskraft) und Kraft (vermittels der Schwerkraft) auf die Krümmung der Bahn nicht so gut auf, weshalb es keine exakte Ellipse und schon gar keine stationäre geben kann. Stationarität ist dann nur für ausgewählte Parametersätze denkbar (ähnlich einer Kreisbahn). Übrigens würde hier bei feststehenden Zentralmassen-Teilen die Situation wechseln: Beide Massen in Linie oder senkrecht zum Abstandsvektor und alle Winkel dawischen. Deshalb erst einmal:

Zweiter einfacher Fall:

Würde man die gesamte Zentralmasse in zwei gleich große Massen teilen, die senkrecht zum Abstand der Probemasse angeordnet sind, so verlieren beide Massen an Anziehungskraft, weil sie sich ja beide um den gleichen Betrag (Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck!) entfernen. Da das symmetrisch erfolgt, heben sich ihre Kraftkomponenten senkrecht zur Symmetrieachse gegenseitig auf, so dass eine weitere Reduzierung der Kraftwirkung erfolgt.

F = F1 + F2 = 1/2 * 2 * d/(Wurzel(d²+a²))³ = d/(Wurzel(d²+a²))³

(Die Wurzel(d²+a²) ist der tatsächliche Abstand. Dieser steht im Kraftgesetz quadratisch im Nenner. Der Anteil der Längskomponente der Kraft an der Gesamtkraft ist Längsabstand/Gesamtabstand (kann auch über den cos beschrieben werden). Deshalb steht die Abstandswurzel im Nenner in der dritten Potenz und der SP-Abstand im Zähler.

Grafisch sieht das so aus:

Die grüne Kurve zeigt die Kraft in Abhängigkeit von der Größe der Quer-Splittung der Masse, die rote bei Längs-Splittung. Die lila Kurve zeigt die Viertelung der Masse, nämlich quer UND längs, und liegt fast genau auf der Kurve der hypothetisch linear reziproken Kraftwirkung. Auch hier gibt es also KEIN Zusammenfallen von SP und VSZ!

Um nun dahinter zu kommen, warum das ausgerechnet bei der Kugel dennoch klappen soll, erlauben wir uns didaktisch/heuristisch noch ein paar Zwischenschritte, damit Anschauung und Verständnis nicht auseinander klaffen.

Die dazugehörige Trajektorie (genähert als „Ellipse“ bezeichnet) sollte auf der Basis der Erkenntnis, dass das VSZ mit der Probemasse mitrotiert und „hinter“ dem SP liegt, eine Rückwärts-Präzession aufweisen. (Stab und Ellipsoid-„Speer“ ebenso.)

Es ergibt sich hier sofort die Frage, ob man mit Hilfe einer Linearkombination beider Punkt-Paar-Geometrien einen Fall schaffen kann, der dem der einfachen Punktmasse identisch ist? Das hieße, es gäbe Wertepaare für k1 und k2, die die folgende Gleichung erfüllen:

1/d² =  k1 * ½ * (1/(d+a)²+1/(d-a)²) + k2 * d/(d²+a²)^(³/²)

Es wird schnell klar, dass das nur für bestimmte Wertepaare d und a gelingt, und dass das dann außerdem richtungsabhängige Lösungen sein müssen.

Zwei Beispiele seien hier grafisch dargestellt: 2 Quer-Paare gegen 1 Längs-Paar und 5 Quer-Paare gegen 1 Längs-Paar:

Lange bleibt der isometrische 6-Punkt-Stern auf einer der Achsen beim Aufblähen mit der Punktmasse identisch.

Ein ebener 10-er-Stern mit einem senkrechten Punktpaar kreuzt in seiner Kraftwirkung beim Aufblähen die Punktmassen-Kraft noch einmal.


Überlegung 3: „Verschmieren“ der Zentralmasse zu einem Stab

Jetzt wird die „Aufblähung“ (Ist das ein schöneres Wort als das unter Physikern übliche „Verschmieren“?) der Zentralmasse unter Beibehaltung ihres Wertes in einen dünnen Stab behandelt. Dazu gibt es wiederum zwei symmetrisch bevorzugte Konstellationen: Längs und quer zur Verbindungslinie zwischen Probemasse und Zentralmassenschwerpunkt.

Stab längs

Stab quer


Die Gesamtkraft wird über die Teilkräfte integriert:

F(x,a) = – 1/(2a) ʃ 1/x2 dx  [d-a;d+a]

Fx(x,a) = 1/(2a)*(1/(x+a)-1/(x-a))

Die Gesamtkraft ist das Doppelte der Längskomponente einer (halben) Punktkraft.

F(x,a) = -1/a * ʃ x/(x²+r²) ^(³/²) dr [0, a]

|F| = 1/x*1/√(x²+a²)  [Integralsammlung Bronstein Nr. 206]

Kraftfeld für eine gegebene Stablänge für beide geometrischen Varianten.

Kraftwirkung beim „Aufblähen“: Erreicht das Stabende im Falle „längs“ die Probemasse, gibt es eine Katastrophe. Danach heben sich die Kräfte teilweise auf. Im Falle „quer“ erinnert der Verlauf an die beiden Punkte. Das Aufblähen des Stabes wirkt aber schwächer als bei 2 Punkten, weil er ja auch in der Mitte Masse hat. Was die Trajektorien angeht, ist deshalb ein Mittelding zwischen 1 Punktmasse und den 2 gesplitteten Massen zu erwarten.

Überlegung 4: „Verschmieren“ der Zentralmasse zu einem Ring

Jetzt wird die „Aufblähung“ der Zentralmasse unter Beibehaltung ihres Wertes in einen dünnen Kreisring behandelt. Dazu gibt es wiederum zwei symmetrisch bevorzugte Konstellationen: „Längs“ (Verbindungslinie ist Durchmesser) und „quer“ (Verbindungslinie ist Achse) zur Verbindungslinie zwischen Probemasse und Zentralmassenschwerpunkt.

Die Formel für den Quer-Ring entspricht aus Symmetriegrpünden dem Punktpaar, der Längs-Ring wird numerisch integriert.


Das Maximum der Kraftwirkung beim „Durchfliegen“ des Quer-Ringes liegt bei ro/2*√2. (hier: ro=1) (Aus Symmetriegründen gilt für einen Ring gleicher Masse die gleiche Abhängigkeit wie bei einem Punktpaar!)

Je eine Polstelle beim Längs-Ring liegt genau in beiden Rand-Punkten. Der Vergleich mit dem Felde von zwei Punkten zeigt den Unterschied in der Wichtung der Beiträge der „Außenbereiche“, die von der Verbindung zur Ringmitte abweichen.

Das Aufblähen des Quer-Ringes führt wieder zu einer Vergrößerung des Abstandes des VSZ, beim Längs-Ring umgekehrt.

Die Trajektorie um einen Längs-Ring (also in dessen Ebene) führt also zu der interessanten Überlegung, das das VSZ „vor“ dem Schwerpunkt mit der Probemasse mitrotiert und damit zu einer „Vorwärts-Präzession“ der Ellipse führen muss. (Die Modell-Experimente bestätigten das ja bereits! Die Ähnlichkeit zur Trajektorie um  einen flachen Ellipsoid („Diskus“) ist ebenfalls zu erwarten.)

Überlegung 5: „Verschmieren“ der Zentralmasse zu einer Scheibe

Jetzt wird die „Aufblähung“ der Zentralmasse unter Beibehaltung ihres Wertes in eine dünne Kreisscheibe behandelt. Dazu gibt es wiederum zwei symmetrisch bevorzugte Konstellationen: „Längs“ (Verbindungslinie ist Durchmesser) und „quer“ (Verbindungslinie ist Achse) zur Verbindungslinie zwischen Probemasse und Zentralmassenschwerpunkt.

Die Rechnungen für die Längs-Scheibe erfolgen mit numerischer Integration, für die Quer-Scheibe gibt es eine analytisch Lösung:

Fx = -2/(πa²) * ʃʃx/(x²+r²)3/2 *r* dϕ * dr  [0;π:0;a]

Fx = 2x/a²*[1/Wurzel(x²+a²) – 1/x]


Der Grenzwert bei totaler Annäherung für x -> 0 ist tatsächlich endlich, nämlich  2.

Beide Funktionen kreuzen sich, wo das Innen-Außen-Verhältnis im Innenraum der Längs-Scheibe entsprechend ist. Auch hier eine Kreuzung beider Scheiben-Ausrichtungen, wie schon bei den Punktpaaren. Ihre Wirkungen heben sich auch hier NICHT auf!

Überlegung 6: „Verschmieren“ der Zentralmasse zu einer Kugelschale

Die Gesamtkraft wird für jeden Kugelschalen-Ring (in räumlichen Polarkoordinaten) numerisch integriert. Dabei ergibt sich ein endlicher Maximalwert am Rand der Schale.

F(x) = Σ F(r, ϕ, θ, x)

Es fällt auf, dass im Außenraum ein mit der Punktmasse identisches Feld vorliegt, während der Innenraum feldfrei ist! Im Umkehrschluss würde beim Aufblähen erst ein Punktfeld-identisches Verhalten (konstante Schwerkraft!!!) auftreten und dann, wenn man ins Innere gerutscht ist, Feldfreiheit herrschen.

Aus Symmetriegründne braucht hier keine Unterscheidung von längs und quer vorgenommen zu werden.

Nun haben wir also diesen verwunderlichen Fall schon VOR der Behandlung der Kugel entdeckt, dass nämlich SP und VSZ zusammenfallen, Kugelschale und Punktmasse also die gleiche Wirkung ausüben. Können wir dazu noch weitere Überlegungen anstellen?

Wie kann das sein, obwohl die Kraft reziprok quadratisch vom Abstand abhängt? Wieso können sich die Unterscheide zwischen „vorderer“ und „hinterer“ Kugelschalen-Hälfte gegenüber dem Mittelpunkt aufheben? Dazu vergleichen wir die Masseverteilung mit der Fläche gleicher Kraftwirkung in SP-Richtung: Fx = x/d³ = x*(x²+y²) -3/2 = c = 1  -> y = Wurzel(x²/³-x²)

Der Schnitt der Linie konstanter Kraftkomponente liegt deutlich „vor“ der Linie gleichen Abstands!

Man muss sich hier vorstellen, dass es sich um rotationssymmetrische Flächen handelt (rotierend um die Abszisse!). Alles, was unter der blauen Schnittlinie liegt, hat eine größere Kraft, alles, was darüber liegt, eine kleinere. Der Anteil der größeren Kraft in der Nähe ist also im 3-dimensionalen relativ kleiner, als es ier im 2-dimensionalen Diagramm erscheint. Das führt zu dem wundersamen Ergebnis des Zusammenfalls beider Punkte: SP und VSZ.

Man kann auch die Integration über Ringe grafisch schrittweise darstellen:

Die grüne Kurve der diskreten Ring-Kräfte als Funktion des Abstandes von der Probemasse ergibt sich aus der Multiplikation der roten (spezifische Kraft pro Ring-Masse unter Berücksichtigung der Spreizung des Ringes von der Achse weg) mit der blauen (Ring-Masse), und da letztere hier konstant (!!) ist (man erinnere sich an das Zerschneiden eines Kürbisses in achsparallele gleich dicke Ringe, die nach dem Entfernen der Kerne alle gleich schwer sind), sind beide Kurven deckungsgleich. Zum Vergleich einmal diese Darstellung für die quer liegende Ringmasse, jeweils mit gleicher Geometrie wie die Kugelschale (MP-Abstand d, Radius r):

d=5, r=1

d=5, r=1


d=5, r=2

d=5, r=2


d=5, r=3

d=5, r=3


d=5, r=4

d=5, r=4


Links jeweils die „längs“ liegende Ringmasse, rechts die Kugelschale. Während das „Virtuelle Schwerkraft-Zentrum“ beim Ring während des Aufblähens nächer rückt, sich also vom Mittelpunkt (Schwerpunkt) entfernt, ist es bei der Kugelschale ortsfest im Mittelpunkt (Schwerpunkt). Die Masse-Verteilung des Ringes über der z-Achse ist eine wilde „Badewanne“ (kommt vom Arkustangens des Polwinkels). Deshalb wächst am Ende auch die differentielle Kraft wieder leicht an (grüne Kurve im linken Diagramm).

Man erkennt an dieser Entwicklung sehr schön, wie sich – besonders im Nah-Bereich – Vergrößerung des Ringes und damit Vergrößerung des Achsabstandes der Massen sowie gravitatives Abstandsgesetz überlagern. Man ahnt ein wenig, dass es Masseverteilungen geben kann, bei denen sich diese Effekte so aufheben, dass man die Schwerkraft einer Punktmasse im Schwerpunkt ersatzweise nehmen kann. Das ist genau bei der Kugelschale (und somit auch bei der Kugel) der Fall. Beim Ellipsoid bleibt der Ausgleich aus; sein Schwerpunkt kann nicht mehr als Abstandsmaß für die gesamte Masse gelten.

Hier ist die ausführliche Rechnung (analytische Integration) für die Schwerkraft der Kugelschale (in zwei verschiedenen Varianten) zu finden.

Da also eine Voll-Kugel aus Kugelschalen aufgebaut gedacht werden kann, gilt dort das gleiche (übrigens auch, wenn alle Schalen zwar in sich homogen, aber untereinander unterschiedliche Dichten aufweisen):

Überlegung 7: „Verschmieren“ der Zentralmasse zu einer Vollkugel

Da nun eine Kugel aus einzelnen Kugelschalen zusammengesetzt werden kann, ist auch bei dieser Superposition der Zusammenfall gewährleistet.

Einen interessanten Unterschied gibt es dennoch: Nur bezüglich der „außen“ liegenden Schalen besteht eine anteilige Feldfreiheit, so dass die „innen“ liegenden wirken können. Da ihre Masse mit der dritten Potenz des Radius steigt, ihr im Mittelpunkt wirkendes VSZ aber in der Wirkung mit der zweirten Potenz fällt, bleibt eine lineare Schwerkraft-Funktion im inneren einer homogenen Kugel übrig. (Das würde zu einer harmonischen Schwingung um den Erdmittelpunkt führen können, wenn man denn einen solchen Tunnel zu bauen imstande wäre.)


Die teilweise Identität mit der Punktmasse ist schön zu erkennen.

Zusammenfassung:

Wenn man einmal alle Erkenntnisse übereinander legt, kann man die Entstehung dieses wundersamen gegenseitigen Aufhebens der Effekte des Auseinanderlaufens von SP und VSZ bei der Kugelsymmetrie verfolgen:


Links: Alle berechneten Felder zusammengefasst. Insgesamt sind 10 verschiedene Abstandsgesetze zu erkennen, davon 8 verschiedene im Außenbereich.

Daraus folgt zwangsläufig, dass es 8 unterschiedliche Trajektorien-Grund-Typen geben muss.

Außerdem ist zu erkennen, dass eine Punktmasse die gleiche Außenwirkung hat wie eine Kugelschale oder eine Vollkugel. Im Umkehrschluss darf man eine kugelsymmetrische Masseverteilung durch ihren Schwerpunkt ersetzen (und NUR diese!). Das erkennen zu können war schließlich der Grund für den hier getriebenen heuristischen Aufwand!

Rechts: Alle berechneten Kraftverläufe beim Aufblähen verschiedener Formen zusammengefasst. Insgesamt sind 5 verschiedene Verläufe vor der Berührung (Kugel und Kugelschale identisch) und 6 danach (dann also Probemasse im Innenbereich) zu erkennen.

Ausblick:

Geht man nun weiter zu dreiachsigen Ellipsoiden, kann man vorher bei den Rotations-Ellipsoiden Halt machen und ihr Kraftfeld in Abhängigkeit von der Abplattung (siehe Erde als Geoid!) studieren. Das Ergebnis ist:

Kraftfelder von Rotationsellipsoiden unterschiedlicher Abplattung (von 0,1 bis 10), aber gleicher Masse und Dichte.

Die dicke schwarze Linie ist die Kugel. Man beachte die Parallelverschiebung der Hyperbeläste, die wiederum auf eine Verlagerung des „virtuellen Schwerezentrums“ hinweist. Der Charme der Kugel-Besonderheit ist also wieder dahin, und man ahnt, dass man aus dieser Sicht Scheibe und Stab als extreme Ellipsoide betrachtet werden können.

Also:

  1. Alle sozusagen „längs“ liegenden Anordnungen üben eine stärkere Schwerkraft auf die Probemasse aus als der Punkt, alle „quer“ liegenden eine geringere.
  2. Ein Rotations-Ellipsoid (was den „echten“ Himmelskörpern nahe kommt und bei den Trajektorien die meiste Aufmerksamkeit verdient) ist in nullter Näherung aus den behandelten Formen zusammensetzbar, zum Beispiel aus Kugel und Ring („Diskus“) oder Kugel und Stab („Speer“).
  3. Daraus folgt außerdem im Umkehrschluss, dass das Massezentrum, das bei allen identisch ist, normalerweise nicht mit dem „Schwerkraftzentrum“ (hypothetischer Ort einer Punktmasse gleicher Größe) zusammenfällt (Ausnahme: kugelsymmetrische Anordnungen).
  4. Das bedeutet für die später zu behandelnden Trajektorien, dass bei der Bewegung der Probemasse das virtuelle „Schwerkraftzentrum“ vor oder hinter dem Schwerpunkt mitrotiert und die Kepler-Ellipse „zerstört“, indem eine „Perihel“-Drehung („ebene Präzession“ = „Rosette“) entsteht. (Die dreidimensionale Präzession geneigter Bahnen (ähnlich den Kreiselgesetzen) wird anschließend behandelt werden.)
  5. Die Abhängigkeit vom Grad der „Aufblähung“ der Punktmasse macht deutlich, dass die Abweichung von der stationären Ellipse mit der relativen Nähe zur Zentralmasse wachsen muss.

Für die Freunde der Zahlenwerte eine Vergleichstabelle einfacher Formen

(d=2: für alle der gleiche Schwerpunkt-Abstand, d virtuell: Abstand des virtuellen Schwere-Zentrums, Abw: relative Abweichung)

VOLL Kraft d=2 Abw. Kraft d virtuell Abw. d
Kugel 0,250 0,0% 2,00 0,0%
Elli  flach (Scheibe) längs 0,271 8,4% 1,92 -4,0%
Elli flach (Scheibe) quer 0,218 -12,8% 2,14 7,0%
Elli lang (Stab) längs 0,296 18,4% 1,84 -8,0%
Elli lang (Stab) quer 0,233 -6,8% 2,07 3,5%
Würfel 0,236 -5,6% 2,06 3,0%
Quader flach (Quadrat) längs 0,277 10,8% 1,90 -5,0%
Quader flach (Quadrat) quer 0,201 -19,6% 2,23 11,5%
Quader lang (Stab) längs 0,333 33,2% 1,73 -13,5%
Quader lang (Stab) quer 0,224 -10,4% 2,11 5,5%

Zwei Typen von Körpern (Rotationsellipsoid und Quader) identischer Masse im Schwerpunkt-Abstand 2: Kraft und virtueller Schwerkraft-Abstand im Vergleich für isometrische und deformierte Körper (1:10 im gestreckten oder gestauchten Zustand mit größter Nähe 1 im isometrischen oder im Fall „längs“ und größter Quer-Ausdehnung 2) (hier: „Scheibe“=Kreisscheibe)

1. Der weitere Übergang zu den weiter oben behandelten zwei Masse-Punkten oder dem Ring ist zu ahnen…

2. Der Vergleich der Hohlkörper gleichen Umrisses sollte noch stärkere Abweichungen zeigen, was sich auch so ergibt (die Schwerpunkt-nahen Massen fallen weg, bei den Quadern detaillierter dargestellt: Nur dünne Flächen-Bleche, dann nur Kanten-Drähte, dann nur Eck-Punkte):

HOHL Kraft d=2 Abw. Kraft d virtuell Abw. d
Kugel 0,250 0,00% 2,00 0,0%
Elli  flach (Scheibe) längs 0,288 15,20% 1,86 -7,0%
Elli flach (Scheibe) quer 0,199 -20,40% 2,24 12,0%
Elli lang (Stab) längs 0,336 34,40% 1,72 -14,0%
Elli lang (Stab) quer 0,222 -11,20% 2,12 6,0%
Würfel HOHL (6) [21] 0,241 -3,60% 2,04 2,0%
Quader flach (Quadrat) längs 0,289 15,60% 1,86 -7,0%
Quader flach (Quadrat) quer 0,198 -20,80% 2,25 12,5%
Quader lang (Stab) längs 0,354 41,60% 1,68 -16,0%
Quader lang (Stab) quer 0,222 -11,20% 2,12 6,0%
Würfel DRAHT (12) [22] 0,174 -30,40% 2,40 20,0%
Quader flach (Quadrat) längs 0,293 17,20% 1,85 -7,5%
Quader flach (Quadrat) quer 0,163 -34,80% 2,48 24,0%
Quader lang (Stab) längs 0,366 46,40% 1,65 -17,5%
Quader lang (Stab) quer 0,216 -13,60% 2,15 7,5%
Würfel ECKPUNKTE (8) [23] 0,140 -44,00% 2,68 34,0%
Quader flach (Quadrat) längs 0,225 -10,00% 2,11 5,5%
Quader flach (Quadrat) quer 0,137 -45,20% 2,70 35,0%
Quader lang (Stab) längs 0,534 113,60% 1,37 -31,5%
Quader lang (Stab) quer 0,180 -28,00% 2,36 18,0%

 

Weiterführende Seiten