Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.4.1.3 Schleppkurven

Frage:

Wie sind die zeitlich-räumlichen Strukturen von interagierenden Elementen von der Art der Wechselwirkung abhängig?

Wenn man sich mit der diskreten Wechselwirkung vieler Teilchen beschäftigen will, so muss man erst einmal unterscheiden, welche Wechselwirkung man zu betrachten gedenkt: Elastische Wechselwirkung über Federn, elastische Nahwirkung über Stöße, Fernwirkung über Felder (elektrostatische Kraft, Schwerkraft) oder Bindungen in Potentialmulden durch Überlagerung verschiedener Kräfte (Festkörper- und Flüssigkeits-Moleküle).

Hier beginnen wir – wie immer – mit den ganz einfachen Fragen: Wir haben nur zwei Teilchen. Da sich die Stabilität am besten in der Bewegung darstellen lässt, bewegen wir ein Teilchen auf vorgegebener Bahn (ohne Aussage über den Grund dieser Bewegung) und „verfolgen“ aufmerksam ein zweites Teilchen in seiner entstehenden Verfolgungs-Bahn: Die einfachste unter den Verfolgungskurven ist die Schleppkurve:

Die Schleppkurve („Traktrix“, siehe Wiki) entsteht als Spur, wenn man einen Stein an einer Stange durch den Sand (bremst gut) hinter sich herzieht. Die am einfachsten definierte Kurve entsteht, wenn man (in einem Anfangswinkel ungleich Null zur Stange) geradeaus läuft.

Die „einfache“ Schleppkurve zur Geraden

Im ausgehenden 17. Jahrhundert, dem „Sternjahrhundert“ der Mathematik, wurde das Problem, diese Kurve analytisch zu beschreiben, gelöst. Dazu kann eine Parameterdarstellung dienen.

Im „richtigen“ Leben hat man mit einer Schleppkurve zu tun, wenn man ein Auto einparkt: Die starre Hinterachse wird von der beweglichen Vorderachse nachgeschleppt – oder vorausgeschoben, wenn man rückwärts fährt. Spannende Frage: Wie sieht die Kurve aus, die man mit der Vorderachse beschrieben muss, wenn man rückwärts einparkt? (Üben oder rechnen???)

Und die Straßenbauer müssen bei den Radien der Innenkurven die erlaubten Laster-Längen bei gegebener Straßenbreite (oder umgekehrt) berücksichtigen.

(Ganz schlaue Leute haben das schon für mehrere Anhänger gelöst: Rückwärts Sinuslinie erzeugen!!)

Es entsteht im Sinne dieser Abhandlung aber die Frage, ob man die Aufgabenstellung schrittweise so erweitern kann, dass „Strukturen“ oder „Muster“ entstehen?

Dazu schreiben wir uns ein einfaches Programm, das schrittweise erweitert werden kann. Wir nutzen dazu eine Abwandlung der Parameterdarstellung, nämlich eine schrittweise Neuberechnung beider Positionen der Stangen-Enden in kleinen konstanten Zeitintervallen (Erinnerung: Numerische Integration!).

Wir fangen wie immer ganz einfach an: Wir starten nicht senkrecht zur Stange, sondern leicht schräg „gegen“ sie:

Schub-Schlepp-Kurve mit „Stange-Stroboskop-Bildern“ und Krümmungsradien (ergeben als Evolute eine Kettenlinie!)

Es ergibt sich ein Bild mit Spiegelsymmetrie, dem einfachsten aller Struktur-Elemente. Philosophisch bedeutet das, dass man den Zeitablauf spiegeln kann, und dass dann Schieben und Ziehen vertauscht sind. Die immer nach einigen Intervallen als Hilfslinien eingezeichneten „Stangen“ und Krümmungsradien ergeben für sich ebenfalls ästhetische Bilder (die gelbe Evolute -> Wiki etwa).

Was passiert, wenn man nicht auf einer Geraden zieht, sondern auf einem Kreis oder einer Sinuslinie?

Schleppkurva am Kreis, die sich zum Innenkreis „einschwingt“

Schleppkurve am Kreis, die sich zu einer „Blume“ aufschwingt

Je nach Startposition (Stangenlänge zum Radius) können sich unterschiedliche „Verhaltensmuster“ einstellen.

Schub-Schlepp-Kurve am Sinus erinnert an Phasenverschiebung in der E-Technik

Und nun wird zugelassen, dass die Stange elastisch ist, dass die Masse also um eine kraftfreie Grundlänge der Stange schwingen kann (die Stange zieht oder drückt je nach Auslenkung), und dass die Stange zusammen mit der Masse seitlich ausschwingen kann, wobei der Sand aber dämpfend auf die Bewegung wirkt. Alle Parameter können einzeln eingestellt werden.

(Übirgens: Eine auf der Sinuslinie konstant gehaltene Geschwindigkeit ist gar nicht so trivial zu berechnen, wie man bei dieser Gelegenheit feststellen muss – schließlich besteht die tatsächliche Geschwindigkeit in der Ebene aus zwei Komponenten!)

Das ergibt schier unendlich viele Varianten – ein Spielzeug für schlaflose Nächte!

Nur einige wenige Eindrücke hier dargestellt:

Trägheitskurve an der Geraden: Man sieht die Längs- und Querschwingungen der im Sand gedämpften Zug-Masse deutlich

Trägheitskurve um den Kreis schwingt sich ein zum Kreis

Trägheitskurve um den Sinus schwingt sich ein zum Zappelsinus

Ein anderes Konzept ist das der „Hundekurve“, wo man erstens einen Geschwindigkeitsunterschied und zweitens einen konstanten Vorhaltewinkel zum bewegten Ziel einführt. Hier kann man studieren, ob man als langsamerer Hund durch Abkürzung den schnelleren Zickzack-Hasen bekommen kann (ist auch militärtechnisch interessant, aber hier geht es nur um entstehende „Strukturen“).

Schneller und wenig schiefer Hund jagt Gerade

Schneller und gegenseitig schielender Hund jagt Gerade

Schneller Hund jagt Kreis

Sehr schneller gegenseitig schieledner Hund jagt Kreis

Schneller gegenseitig schielender Hund jagt Kreis umsonst

Langsamer (80%!) stark schielender (30°!) Hund jagt Sinus-Hasen mit Erfolg

Etwas langsamer gegenseitig schielender Hund jagt Sinus und bekommt ihn im zweiten Anlauf

Sehr langsamer Hund jagt Sinus umsonst, „beinahe“ hätte er ihn gekriegt…

Beim letzten Bild sieht man wieder eine „Struktur“, die an stark verzerrte Akustik erinnert. (Ein harmonisches Frequenzspektrum – Fourier-Transformation – wäre interessant…)

Die letzte Erweiterung in diesem Abschnitt ist das Einführen einer „Schmusekurve“, bei der  ein Anfangsabstand einer Schleppkurve in einem Ausgleichsprozess auf einen Wunschabstand verändert wird. (Sind beide Abstände gleich, sind die Kurven identisch.)

Die Darstellung aller vier Kurvenarten für je einen zufälligen Werte-Satz sind wie folgt:

Alle vier Kurven zur Geraden

Alle vier Kurven zum Kreis

Alle vier Kurven zum Sinus

Man sieht an den Typen der Verfolgungskurven, die hier behandelt worden sind, dass dann wenn man mehrere Objekte gleichzeitig agieren lassen würde, sehr interessante Strukturen zustande kommen sollten, wenn schon ein einziges verfolgendes Objekt Muster erkennen lässt. Das wäre also für die Untersuchung sich bewegender und analog wechselwirkender Objekte interessant!

(Der Stand der Forschung ist heute so, dass die „Diskretisierung“ von bisher als homogen behandelter Medien wie Schüttgüter u.a.m. mit verbesserter Rechentechnik tatsächlich den „wirklichen“ Prozessen immer näher kommt!)

Übrigens: Bei der Hundekurve kann man sich vorstellen, dass man, wenn man seinen Augenhintergrund diskretisieren/digitalisieren würde, einen Zickzack-Ausreißer auch dann zu fassen bekommen könnte, wenn man langsamer ist: Man müsste ihn nur in ein bestimmtes seitliches Pixel fassen und mit steifem Genick rennen, ohne dass er dieses Pixel verlässt. Hihi: Das wird schon lange so gemacht, nämlich von denen, die solche Augen haben: Komplexaugen der Insekten. Die Raubfliegen, Hornissen und andere könnten auf diese Weise im Nahrungs-Such-Zickzack fliegende Opfer fangen, wenn sie nicht schon sowieso schneller wären, hihi. Aber den Geradeausflug machen alle so, indem sie die Sonne im Pixel fixieren. Wenn das zufällig nicht die Sonne, sondern eine künstliche und deshalb viel nähere Lichtquelle ist, fliegen sie auf einer Spirale in diese hinein… Das hatte die Evolution so nicht „vorgesehen“!

Fazit:

Schon die Wechselwirkung von nur zwei Teilchen zeigt eine wunderbare Vielfalt möglicher Bewegungs-Strukturen. Das macht neugierig auf komplexere Systeme!

Achtung: Man hat beim Runden z.B. der Sinus-Bewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit Artefakte, die sich in Überstrukturen zweier Ordnungen zeigen können, wie mein Enkel Max beim Spiel mit extremen Parametern entdeckt hat:

Sinus-Stab-Schleppkurve mit maximaler Amplitude und minimaler Wellenlänge: Rundungs-Sprünge in den Umkehrpunkten führen zu „artefaktischen“ Überstrukturen, weil der Schlepp-Stab „weg-schnippt“.

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