Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.6 Mischung von flächigen und räumlichen Effekten: Falten

Falten unterschiedlichster Art bei Dürers wunderbarem Porträt seiner Mutter (Wiki)

Frage:

Ist ein Faltenwurf Zufall oder Gesetz?

Eine besondere Ästhetik „verströmen“ die ebenen Gebilde, wenn sie um „nicht abwickelbare“ Flächen gelegt werden, worauf sie Falten werfen. Man kennt das aus der Malerei: Brokatkleider oder Seidenblusen werden zu eigenen Stilleben inmitten einer szenischen Darstellung.

Was passiert da wirklich?

Will man ein ebenes zweidimensionales Gebilde um einen dreidimensionalen Körper „wickeln“, so geht das ohne Doppelbelegung oder ohne Fehlbelegung (Reißen) nur dann, wenn man um eine bestimmte Achse (also zylindrisch) wickeln oder eben scharfkantig entlang einer Geraden „falten“ kann (ist ja nichts anderes als ein superdünner Zylinder!).

Die Richtung dieser Achse oder Geraden darf sich dabei ändern. Ohne Änderung der Richtung und ohne Änderung der Krümmung entsteht ein Zylindermantel. Mit Richtungsänderung entsteht im einfachsten Fall ein Kegelmantel oder im zusammengesetzten Fall z.B. ein Oloid (dieser hat außer Mantel weiter nichts!). Körper mit Oberflächen, die „abwickelbare Flächen“ sind, erkennt man an den „Netzen“ (auf Papier übertragbare Gebilde, aus denen man den Körper falten oder biegen und mit Klebefalzen stabilisieren kann), deren Teile überall mehr als nur einen Berührungspunkt haben (der komplette Zylinder samt Deck- und Bodenfläche ist dann NICHT abwickelbar, denn die beiden Kreise hängen nur in je einem Punkt am Mantelflächen-Rechteck des Netzes – das gilt auch für den kompletten Kegel).

Andersherum formuliert:

„Gewölbte“ Flächen, die also in mehreren Richtungen gekrümmt sind, sind grundsätzlich NICHT abwickelbar.

Diese Erfahrung haben unsere Vorfahren, die Sammler und Jäger, schon gemacht, als sie sich in Bärenfelle wickeln wollten (schneiderisch „einwickeln“ statt mathematisch „abwickeln“): Am einfachsten sind ebene und zylindrische Bestandteile der Kleidung herzustellen, die man dann zusammennähen kann. Kegelanteile  für die entsprechenden Körperteile erhält man dann durch „Abnäher“, Übergangsstellen werden mit „Zwickeln“ verbunden.

(Später konnte man beim Filzen dann auch gewölbte Flächen mit viel Mühe herstellen. Interessanterweise sind Tiere ja auch gewölbt, besonders die Bären und Wildschweine, aber ihre Felle hat man erst plan gezogen und dann wieder gewickelt – warum nicht den ursprünglich tierischen Wölbungen entsprechende Wölbungen beim Menschen damit umspannen?? Aber das widerspricht dem Verallgemeinerungsdrang denkender Wesen, für jeden den „passenden“ Bären erlegen zu müssen! Außerdem war damals legere Kleidung „Mode“… Das Treiben von Gold und Kupfer führte dann – etwas später – zu noch besseren Wölbungen, bevor das Schmieden des Stahls begann. Gepresste oder gar 3D-gedruckte Kunststoffe stehen heute auf einem ganz anderen Blatt.)

Superpositionsprinzip:

Ganz grob gesagt könnte man im Umkehrschluss also auch jeden Faltenwurf aus Zylindermänteln und Kegelmänteln zusammengesetzt denken.

Gut. Wir haben also durch einfaches Nachdenken („first principles“) erkannt, dass Falten entstehen müssen, wenn wir ein ebenes Gebilde („Tischdecke“) um einen Zylinder („runder Tisch“) wickeln wollen („Tischdecke auflegen“). Aber wo genau entstehen diese Falten? Das können wir nicht sagen, das ist entweder „Zufall“ oder winzigen „natürlichen“ Unebenheiten geschuldet. Aber den Struktur-Fanatiker interessiert ja nicht der konkrete Ort der Falte, sondern die Struktur, der Rhythmus, hier also die Wellenlänge der Falte (absolut oder im Verhältnis zum Durchmesser, was auf eine konkrete Anzahl hinausliefe).

Spannend wäre also eine Modellierung mit all den Parametern, die zur Falten-Struktur beitragen können. (Im Informatik-Studium eines meiner Söhne gab es solch eine Aufgabe!)

Im Unterschied zu den Federflächen (dort waren nur lineare Federn zwischen den Massepunkten angebracht und eine lokale Faltung nur möglich, wenn die

Zu lange Federn führen in der Nähe der Einspannung der rechteckigen Federfläche zu lokalen Knickungen der Zellen, aber zu keinen globalen Falten

FF kurz nach dem „Start“ des dynamischen Ausgleichs

„Falten“ im Gleichgewicht: In der Nähe der zu kleinen Einspannung machen sie einen chaotischen Eindruck

chaotische Schwingung der Federfläche nach Änderung der Federkonstante


 

Federlänge so groß gewählt wird, dass die Einspannung des Randes dafür zu klein ist) müsste man hier eine elastische Biegesteifigkeit in jedem Massepunkt (als Kreuzungspunkt zwischen zwei Nachbar-Paaren) einführen:

Das ist ein guter Plan, den man schrittweise durchführen sollte.

Schritt 1:

Test, ob sich eine an den Rändern eingespannte gewölbte Fläche auch durch elastische Feder-Kreuz-Gelenke (statt durch lineare Längs-Federn) glattziehen kann (dargestellt in zwei verschiedenen Blickwinkeln):

Vorgabe eines parabolisch angeblasenen Tuchs in parabolischer Einspannung

selbständig glattgezogenes Tuch in fester Einspannung


Vorgabe eines parabolisch angeblasenen Tuchs in parabolischer Einspannung

selbständig glattgezogenes Tuch in fester Einspannung


Interessant, dass die Fläche tatsächlich nicht eben wird, sondern die lokale Gesamtkrümmung auf Null fährt, wo es geht. (Das Ganze schwingt natürlich artefaktisch auf, wenn man den Zeittakt zu groß wählt!) Im vierten Bild (rechts unten also) ist die Andeutung einer Falte schon wunderbar zu erkennen! (Man muss sich vorstellen, dass man von schräg links oben auf eine nach rechts und vorn abwärts gewölbte Fläche sieht, in der sich eine Falte von links hinten nah rechts vorn bildet.) Damit „wehrt“ sich das eben sein wollende gebogene flächige Gebilde gegen die um gleichzeitig zwei Achsen erzwungene Biegung! (Mit der zeitabhängigen Programmierung als numerische Integration der Bewegungsgleichung haben wir wieder einmal die Lösung der komplizierten Variationsaufgabe für die Ermittlung des  Spannungsenergieminimums umschifft!)

Gut, bevor wir (ich sage immer „wir“, dabei bin ich allein und alles ist live, weiß noch gar nicht, ob’s klappt…)  uns wieder ans Programmieren machen, sollten wir überlegen, was aus der kargen mathematisch-geometrischen und aus der sympathischen physikalischen Sicht zu erwarten ist. Dazu nehmen wir uns das einfachste Beispiel der Faltenbildung, nämlich die über einen runden Tisch hängende Tischdecke: Da im Kreis der Umfang proportional zum Radius wächst, ist beim Übergang vom Zylinderboden (Tischplatte) zum Zylindermantel (hängende Tischdecke ohne Falten wäre entsprechend passgenau geschneidert) proportional zum Abstand von der Tischkante „zu viel Stoff“ vorhanden, der also Falten schlagen „muss“.

Kurvenlänge der Sinus-Funktion als Funktion der Amplitude, beides bezogen auf die Wellenlänge (Kurve schmiegt sich an Gerade durch Ursprung mit Anstieg 2 an; alle Werte durch numerische Integration ermittelt: differentielles Bogenstück der Funktion ist nach dem Pythagoras gleich der Wurzel aus (1 plus Quadrat der ersten Ableitung der Funktion in diesem Stück): ds(x)=wu(1+f’²(x))*dx

Bildet man eine Umkehrfunktion (bezogen nur auf den Längenzuwachs), so erkennt man, dass diese zuerst stark ansteigt. Das erklärt, warum an der Tischkante die Falten sofort losgehen, und warum das Schneidern von Faltenröcken (bei unterschiedlich vorhandener Hüfte) nicht einfach ist (und Tricks am Bund erfordert!)

„Echte“ Falten einer echten dünnen weichen (mit Schmetterlingsfotos bedruckten) Tischdecke mit echten schweren echt handgeschliffenen Ostseesteinen drauf. (Schwerkraftwirkung wird allerdings durch „Glas-Gummibärchen“ verstärkt und teilweise durch Bodenberührung wieder abgeschwächt…)

Karierte Tischdecken zeigen die Faltenbildung gut an

„Echter“ Faltenrock, der beim Drehen eine waagerechte Ebene bilden kann

„Unechter“ Faltenrock mit parallelen Falten, die sich radiusabhängig öffnen


Schritt 2:

Wendet man das Ganze auf ein Netz quadratischer Zellen mit Massepunkten an den Ecken und Zugfedern in den Seiten an, das im Inneren kreisförmig von der Schwerkraft ausgeschlossen wird (Tischdecke auf rundem Tisch), so kann man dynamisch den Gleichgewichtszustand „suchen lassen“.

Ergebnis:


Schlussforgerung:

Die Zugfedern in den Quadratseiten garantieren zwar im Mittel einen Rhombus, aber eben kein Quadrat. Es müssen also noch Diagonalen-Federn eingeführt werden. ABER: Diese können gegen die Steifigkeit arbeiten und müssen deshalb variabel (Bedienoberfläche) bleiben.

Schritt 3:

Jetzt gibt es nach dem Verringern der Steifigkeit schöne Falten ohne stark verlängerte Zipfel, wobei die Zipfel nicht exakt „nach unten“ hängen wegen der Diagonalen-Kraft:


Bei hoher Steifigkeit entstehen „statt der Falten“ weggebogene Zipfel, was sozusagen einer Mindestfaltenzahl gleichkommt, wie man beim Drehen in die Draufsicht bei zwei verschiedenen Einstellungen leicht erkennen kann:


Ein Problem bleibt noch die Tischkante: Wenn die Zellen nicht darüber hinwegrutschen dürfen, ist sie der neuralgische Punkt, wo es am ehesten zum numerischen Aufschwingen kommen kann:

Bei (2n+1) * pi/4 schwingen die Zellen an der Tischkante als erste auf, weil dort durch die Überlagerung von Kreis und quadratischem Gitter die Diagonalen am meisten gedehnt sind. (Dunkle Stellen zeigen wegen des Überschreibens von 50 Integrations-Schleifen (rechts oben einstellbar) die stärksten Bewegung an, und einzelne Punkte sind schon auf der „Flucht“ aus der Darstellung…)

 

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