Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.4 Trajektorien um nicht rotationssymmetrische Konstellationen

Auch in diesem Abschnitt soll Wert auf heuristisch/didaktische Steigerung der Schwierigkeit gelegt werden. Die Ermittlung der Ergebnisse erfolgt stets durch numerische Integration, welche hier nicht im einzelnen erläutert wird.

Beginnen wir also:

Fall 1: Schwerkraft-Trajektorien um 2 feste Punkte (kommt in der Schwerkraft-Natur nicht vor, wäre aber elektrisch zu konstruieren)

Es lässt sich natürlich eine Startgeschwindigkeit einstellen, die ortsabhängig so zum Feld passt, dass eine stationäre Bahn entsteht, die an die symmetrische Schwingungs-Ellipse erinnert:


Links der existierende, aber schwer zu findende Idealfall mit stationärer Ellipse, rechts der allgemeine Fall mit Apsiden-Drehung. Der ensteht auch durch alleinige Veränderung des Zentralmassen-Abstandes. (Schwarz ist die Vergleichsellipse bei gleichen Startwerten um eine einzige Punktmasse gleichen Gesamtbetrages.) Verringert man den Zentralmassen-Abstand weiter, geht die Bahn in die Kepler-Ellipse über (wie schon im Abschnitt 2.8.1 ausführlich behandelt):


Vergrößert man den Abstand der Zentralmasse weiter, so kommt es irgendwann zur Kollisions-Katastrophe, vorher aber zu tollen Rosetten:


Fall 2: Schwerkraft-Trajektorien um 2 rotierende Punkte (in der Natur als Doppelstern bekannt)

Hier gibt es keine grundsätzlich stationäre Bahn, sondern eventuell eine zufällige Schwebung der Rosette, besonders, wenn beide Zentralmassen ähnlich groß sind. Bei Gleichheit der Zentralmassen und Kreisförmigkeit ihrer Bahn kann die Probemasse-Bahn auch fast kreisförmig sein. Dargestellt werden immer alle drei Bahnen samt Verbindungs-Strahlen zu fünf ausgewählten (uns stets gleichen) Zeitpunkten im linken Diagramm, dann der Zeitverlauf von Abstand und Winkelgeschwindigkeit der Verbindungslinie beider Zentralmassen (sowie rechts die Probe über die Konstanz Drehimpulse der Zentralmassen und ihrer Summe).

Zuerst eine Bahn im Idealzustand zweier gleicher Zentralmassen auf identischer Kreisbahn:


(Die leichte Drift ist ein Numerik-Artefakt.)

Hier eine Bahn mit Zentralmassen gleicher Größe und elliptischer Bahn:


Man kann mit den Parametern spielen (u.a. wachsende Irritation der grünen Planeten-Bahn durch zu große Nähe):


Zum Schluss noch eine nahe Bahn um schwach ungleiche und stark elliptische Zentralmasse-Bahnen:


Nachbemerkung: Mit meinem handelsüblichen PC will ich nicht größere Systeme bearbeiten, weil dabei die Stabilität der Numerik unklar wird. Man kann dann nicht mehr unterscheiden, ob Rosetten „echt“ oder numerische Artefakte sind. Mit Großrechnern ist man heute in der Lage, das Abkippen eines Sandhaufens diskretisiert zu behandeln – also jedes Sandkorn für sich – oder das globale Wetter zu modellieren. Ich bin also bescheiden und begnüge mich hiermit, denn der Zweck ist erfüllt: Das Wundern über das Wandern des ISS-Knotens ist dem Verständnis für die Zusammenhänge gewichen.

Übrigens: Das gemessene Achsverhältnis der beiden folgenden Ellipsen ist auf 8 Stellen identisch, was bei reichlich 60.000 Zeilen EXCEL-Integration ( hier 6,5 Umdrehungen der Zentralmassen – links herum – und über 3 Umdrehungen des Planeten – rechts herum – : Drehrichtungen also ungleichsinnig) erstaunlich ist.

Die mittlere Präzession der Umlauf-Ellipse entspricht voll der im vergangenen Abschnitt erarbeiteten Theorie.

Zwei weitere Einstellungen (Drehrichtungen gleichsinnig!) sollen den Übergang zum nächsten Abschnitt einleiten: „Schwungholen“ gezielt oder chaotisch.


Im linken Bild ist der Planet am Ende der Integrationszeit etwa 300 Längeneinheiten vom Zentrum entfernt und entfernt sich immer noch langsam.

Fall 3: Schwerkraft-Trajektorien um Ellipsoide

Diese Fälle sind weiter oben schon behandelt worden und sind heuristisch auf die Unterscheidung von Schwerpunkt SP und „Virtuellem Schwere-Zentrum“ VSZ reduzierbar: Je nach Lage des mitrotierenden VSZ ergibt sich eine Präzession der ursprünglichen Kepler-Ellipse.

(Übrigens: Beschreibt man die Ellipse des Doppelstern-Partners aus der „eigenen“ Sicht des anderen Partners, ergibt sich keine vergleichbare Rosette, da Synchronisation vorherrscht. Es ensteht vielmehr wieder eine Ellipse, die aber mit anderem Achsverhältnis als bei den beiden untereinander ähnlichen Ausgangs-Ellipsen des Doppelsterns: Das Größenverhältnis spielt eine Rolle, wie man leicht einsieht!)

Bei schräg zur Symmetrieebene (oder Symmetrieachse) gestellten Bahnen heißt das, dass eine Knotenwanderung entsteht. Die Bahnachse präzediert dann ähnlich einer Kreiselachse, und das sogar auch dann, wenn der ideale „Kreis-nahe Zustand“ eingestellt worden ist.

Das sind dann Praxis-nahe Fälle, wie sie durch die ISS und die geneigten Planetenbahnen überall in der Welt vorkommen.

Übrigens kommen dreiachsige Ellipsoide im Weltall nur als genäherte Form für kleine Himmelskörper wie Meteoriten vor. Jegliche Rotation führt im Falle nichtstarrer Körper irgendwann zu rotationssymmetrischen (ellipsoidähnlichen) Formen. Die obige Abhandlung hat also mehr einen heuristischen als einen praktischen Hintergrund. Wie aber die letzten Meteoriten-Missionen gezeigt haben, sind sogar die elastischen Effekte bei der Landung auf solche einem Körper (nach mehrfachem Umrunden in kompliziertem Orbit) hochinteressant. (Tschurjumow-Gerassimenko 2016, Ryugu 2019)

Fazit:

Man kann auch im Umkehrschluss aus der Präzession auf die Nicht-Kugel-Form der Zentralmasse schließen und ein solches Messverfahren entwickeln. Das passiert allerdings heute schon wesentlich präziser mit sehr komplexen „Schwere-Sensoren“ in Satelliten. (Ihre Komplexität ergibt sich aus der Äquivalenz von träger und schwerer Masse, weswegen mit Kompensationsverfahren entsprechend sensibel aufgehängte Masse-Kombinationen „in Position“ gehalten werden müssen.) Die Ergebnisse sind in Schwerfeldkarten der Erdoberfläche zusammengefasst, aus denen neben der geometrischen Form der Erdoberfläche auch die Variation der Dichte des Untergrunds hervorgeht.