Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.4.3 Mischung von räumlichen, flächigen, linienartigen und punktförmigen Effekten: Kristalle

Beim Anblick von Kristallen fragt man sich sofort:

Wie konnte das „passieren“, dass sie so glatt, so scharfkantig und scharfeckig sind, als ob sie jemand geschliffen hätte?

Und diese Frage kann man sich auf sehr unterschiedlichen wissenschaftlichen Ebenen stellen! Es ist hier wie bei vielen Dingen des Lebens: Je tiefer man eindringt, desto mehr neue Fragen ergeben sich.

Warum ein fertiger Kristall so „schön“ ist, wird von theoretischer Seite her einfach beantwortet: Es ist ein Maximalzustand der Bindungsenergie (oder Minimalzustand der potentiellen Energie, wie man will) unter Beachtung der gruppentheoretischen Belange der translationsinvarianten Anordnung konkreter Elektronenkonfigurationen der beteiligten Atome. Klar?

Sebst wenn man das versteht, ist nicht klar, auf welchem Wege alle Atome ihre „richtige“ Position finden.

Der richtige Denk-Anfang liegt mit Sicherheit wieder im Einfachen, also Zweidimensionalen (das Eindimensionale wäre hier zu trivial: Fädeln einer Kette).

Wenn man ein großes Quadrat aus identischen kleinen Quadraten legen will, so gibt es zwischendurch, wenn man systematisch vorgeht, mittelgroße Quadrate. Nehmen wir an, wir sind beim Quadrat 4 x 4 (also 16 kleine) angekommen. Wir wollen einen neuen Rand ringsum anbringen. Wieviele sind das? Das sind 4 x 4 kleine für die Seiten plus 4 x 1 kleines für die Ecken. Die Ecken erhalten also ein Fünftel der neuen kleinen Quadrate. Jetzt sind es 6 x 6 = 36 = 16 alte + 16 neue + 4 neue.

Für die nächste Umrandung brauchen wir 4 x 6 + 4 x 1, der Anteil der Ecken sinkt von einem Fünftel auf ein Siebtel. Wer zum Teufel soll das in der wilden Natur organisieren können, ohne ständig mitzurechnen??? Die Ecken müssen ZUSÄTZLICH versorgt werden, wenn man von einem gleichverteilten Zustrom (Teilchen pro Länge und Zeit) ausgeht.

Im Dreidimensionalen ist es noch verückter:

4 x 4 x 4 = 64 kleine Würfel im großen Würfel, dann 6 x 16 für die Flächen dazu, 12 x 4 für die Kanten und 8 x 1 für die Ecken, also 96 + 48 + 8 = 152 neue kleine Würfel, aber bitte richtig verteilt. Dann haben wir 216 = 6³ Würfelchen zusammen. Dei neuen Kanten sind 48/152 = 6/19 und die Ecken 1/19 des Bedarfs.

In der nächsten Schicht brauchen wir 6 x 36 = 216 für die Flächen, 12 x 6 = 72 für die Kanten und 8 x 1 = 8 für die Ecken. Man sieht auch ohne zu rechnen, dass der Anteil der Ecken sinkt, auch der der Kanten. Aber trotzdem müssen diese ZUSÄTZLICH angekarrt werden, wenn man von einem gleichverteilten Zustrom (Teilchen pro Fläche und Zeit) ausgeht. Wer organisiert die Befriedigung dieses Extra-Bedarfs?

Nun, das waren bisher rein summarische Betrachtungen. In der Realität haben wir es aber nicht nur mit der Anzahl von „Teilchen“, sondern außerdem auch mit deren Bindungsenergie zu tun, und die ist abhängig von der Position: Ecke, Kante, Oberflächenstufe, Ecke in der Oberflächenstufe, Stufenloch, Flächenloch etc. Bei einem vereinfachenden Würfel-Teilchen-Modell wären das 6 verschiedene Bindungsstärken von 1 bis 6 Flächen-Nachbarn, unter einer realitätsnäheren Einbeziehung der Kanten- oder sogar Eckennachbarn viel mehr (alles schon berücksichtigt bei den Varianten der Zellulären Automaten, beginnend bei 2 Dimensionen!). Mit dem thermodynamischen Ansatz eines dynamischen Gleichgewichts zwischen Anlagerung und Ablösung kommt man auf diesem Wege, wenn man der Umgebung eine einzige stetige Eigenschaft (z.B. Konzentration bei der Lösung oder Temperatur bei der Schmelze) zuschreibt, zu einer unter anderem kristallgrößenabhängigen Formulierung der Gleichgewichtsbedingung. Das erinnert stark an das Modell des radiusabhängigen Innendrucks von Flüssigkeitströpchen im Gas bei der homogenen Keimbildung in Abhängigkeit vom Partialdruck und erklärt ganz nebenbei, wie große Kristalle auf Kosten der Kleinen durch Vermittlung der gemeinsamen gleichen Umgebung wachsen können.

Man kann das weiter oben beschriebene Dilemma zwischen Angebot und Nachfrage bei nicht kugelsymmetrischen Grenzflächen ausführlich erleben, wenn man sich ein Modell programmiert. Man hat dann natürlich die Qual der Wahl zwischen vielen Ansatz-Varianten:

Aber es geht wieder einfach los:

Quadrate ohne Temperatur, nur mit Anlagerung wie beim zellulären Automaten (vgl. den Abschnitt weiter oben!). Verlangt man für die Anlagerung mindestens 2 Nachbarn, so wird aus einem Start-Quadrat bald ein Achteck, dessen ehemaligen Quadratseiten sich NICHT weiter verlängern, weil der eine neue Übereck-Nachbar nicht gebildet werden kann. Darf er das, bleibt das Quadrat sich ähnlich:

9 x 9 – Quadrat gewachsen ohne Ecken-Bevorzugung

Quadrat-Wachstum mit Ecken-Bevorzugung

 

 

 

 

 

 

 

 

(Hier sind außerdem auch streng genommen die Ströme ungleich, weil der Teilchen-Abstand an der „geraden“ Seite anders ist als an der „schrägen“.)

Diese Beispiel aus dem Denken und aus dem Modellieren zeigen, wie komplex das Thema ist.

Es sei noch ein weiterer Gedanke aus der Physik erlaubt:

Verbindet man den Teilchenstrom mit einem Konzentrationsfeld, so ist die Stromdichte proportional dem Gradienten der Konzentration und zur geringeren Konzentration hin gerichtet. Der Gradient ist im stationären rotationssymmetrischen Feld außen geringer (ergibt sich aus der Bilanz). Das hieße, außen wird weniger pro Längeneinheit senkrecht zum Strom nachgeliefert (einmal im Kreis herum aber in jeder Entfernung gleich viel!). Wenn aber die Anlagerungswahrscheinlichkeit mit der Konzentration steigt, außen aber die höhere Konzentration herrscht, muss außen mehr angelagert werden. Das ist ein Widerspruch in sich. Lösung: Es „verbiegt“ sich das Konzentrationsfeld um die Ecken der zweidimensionalen Struktur herum. (Hier wäre ein dynamisches FEM-Modell hilfreich!) Wird es dabei in seiner Anpassungsfähigkeit „überfordert“, gibt es entweder ein dendritisches Wachstum um die Ecken herum („Schneekristalle“) oder „löchrige“ Seitenmitten („Skelett-Kristalle“), und wird im Gegenteil die Anlagerungsfähigkeit an den Ecken überfordert, bleiben sie abgerundet oder abgeschrägt oder zerklüftet.

Es hilft also alles nichts, man muss tatsächlich schrittweise vorgehen!

Aber auch hier liegt der Teufel im Detail: Die Kristalle enthalten schon vom Keim her oft Stapelfehler, die ihrerseits die Anlagerung neuer Teilchen verbessern. Sind diese Fehler Schraubenversetzungen, so bilden sie selbst auf spiegelglatten Flächen superflache Pyramiden, so genannte „Vizinalflächen-Pyramiden“ – manchmal leicht gerundet – , deren Symmetrie der Symmetrie der Fläche entspricht (Aufnahmen von einem tansanischen Pyrit-Kristall, etwa 8 cm groß, im Streiflicht):

Pyrit-Kristall aus Tansania, zusammen mit Graphit (rundliche Ausbuchtungen übrig) Abfall aus der Tansanit-Mine: Das Sechseck in der Mitte ist die Würfelfläche (100), darunter und darüber sind die Pentagondodekaederflächen (210), rechts und links je zwei Deltoid-Ikositetraederflächen (211), rechts und links oben je eine Oktaederfläche (111)

Pyrit mit Flächen-Indices (SHAPE-Programm) stereografisch

Vizinalflächen (100), zweizählige Würfelfläche beim Pyrit, spitze „Ellipsen“ mit Mittellinie

Vizinalflächen der (111): Oktaeder, Dreieck

Vizinalflächen (210), Vizinalflächen (210), Pentagondodekaeder, stark abgerundetes längliches Fünfeck

Vizinalflächen der (211), Ikositetraeder, abgerundetes Drachenviereck

Auch auf Quarz (Bergkristall aus China) kommen solche Vizinalflächen (dort als „Mercedes-Stern“ relativ gut bekantet auf den Rhomboederflächen) vor.

Bei der Siliziumkristall-Herstellung für die Schaltkreise lässt man die Versetzungen durch spezielle Form-Führung (Hals) schon vor dem später verwendeten Kristall-Querschnitt herauswachsen. (Sie würden das zuverlässig schnelle Schalten der Nano-Transistoren behindern!)

So viel bis hierher: Es ist schnell klar geworden, dass selbst unter äußerlich völlig konstant gehaltenen Bedingungen der wachsende Kristall selbst ständig neue Bedingungen (Verhältnisse zwischen Flächen, Ecken und Kanten und damit auch im umgebenden Material-Transport-Feld) erzeugt, so dass ein morphologisch stabiles Wachstum nicht trivial zu erreichen ist, es sei denn: Man hat UNENDLICH viel Zeit.

Und noch ein Gedanke, der immer dann wichtig ist, wenn es um Stabilität geht:

Der kristallgrößenabhängige Anteil der konstant großen Kristallbauteile an Ecken und Kanten führt zwangsläufig zu einem kristallgrößenabhängigen Gleichgewicht mit der Umgebung, was im Umkehrschluss bedeutet, dass bei gegebener Umgebung Kristalle einer bestimmten Größe im Gleichgewicht sind, also NICHT wachsen, während kleinere sich auflösen und größere wachsen – und das führt zu einer Umverteilung des Materials von den Kleinen zu den Großen (klingt bekannt, oder??).

Dazu nun im Detail etwas mehr:

 

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