Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.3.3 Spiel mit dem T²-a³-Gesetz

Wenn man schon einmal mit den Kepler-Gesetzen spielt, kann man auch im „Normalfall des Gravitationsgesetzes“ (d.h. F ist proportional zu 1/r²)  weiter in die Tiefe gehen.

Versteht man das 3. Keplersche Gesetz, dass sich die Quadrate der Umlaufzeiten wie die dritten Potenzen der großen Halbachse verhalten müssen?

Heißt das im Umkehrschluss, da ja von der Exzentrizität nicht gesprochen wird, dass das unabhängig von ihr ist? Dass im „Extremfall“ auch eine Kreisbahn gleichgroßer „Halbachse“ die gleiche Umlaufzeit hat? Und warum wird die „große“ Halbachse genommen? Fragen über Fragen.

Machen wir es uns leicht und nehmen erst einmal eine Kreisbahn. Dann gilt für das Gleichgewicht von Anziehungskraft und Radialkraft

M*m*G/r² = m*v²/r

Setzen wir die Konstanten gleich 1 und kürzen, erhalten wir

r = 1/v²

Da auf einer Kreisbahn gilt, dass v = 2*Pi*r/T ist, setzen wir ein und erhalten

T²/r³ = 4 Pi²

So einfach geht das.

Mit einer üblichen doppelten Integration der Beschleunigung (mit der Kraft des Gravitationskraftgesetzes unter Berücksichtigung der trägen Masse, also zweimal NEWTON) erhalten wir schöne Trajektorien. Als faule Physiker nutzen wir alle Möglichkeiten der Vereinfachung durch Symmetrien und starten die Bahn auf der x-Achse in positive y-Richtung, also rechtwinklig zur x-Achse. Die beiden Schnitte der Bahn mit der großen Achse der Ellipse sind die beiden einzigen Punkte der Bahn (ihre beiden Scheitelpunkte), in welchen der Geschindigkeitsvektor senkrecht auf dem Radiusvektor steht. Je nach Startgeschwindigkeit ist der Startpunkt Apo- oder Periapsis, dazwischen existiert eine Kreisbahngeschwindigkeit. Dann „messen“ wir die Umlaufzeit und vergleichen diese mit einer Kreisbahn gleicher „großer Halbachse“, für die wir natürlich erst die passende Geschwindigkeit durch Pröbeln oder Rechnen ermitteln müssen. Und siehe da:

– Unterschiedliche Startgeschwindigkeiten ergeben unterschiedliche Halbachsen (Exzentrizitäten) und unterschiedliche Zeiten, aber das Verhältnis der Quadrate der Zeiten zu den Kuben der Halbachsen ist immer exakt 4 Pi²!

– Für gleiche Halbachsen sind die Zeiten bei unterschiedlichen Exzentrizitäten ebenfalls exakt gleich.

(Wir haben hier nicht weiter darüber nachgedacht, dass wir eine träge gegen eine schwere Masse gekürzt haben. Ihre Äquivalenz erscheint uns – im Unterschied zu Albert Einstein – selbstberständlich.)

(Wir haben auch nicht darüber nachgedacht, wieso wir bei einer Masse, die wir gekürzt haben, trotzdem darauf bestehen müssen, dass sie klein gegen die Zentralmasse ist: Das Postulat der Gleichheit entgegengesetzter Kräfte heißt ja schließlich nicht auch gleiche Beschleunigung. Letztere ist der Masse umgekehrt proportional, und die Zentralmasse soll ja „ortsfest“ bleiben…)

Hier zwei ausgewählte Plots der umlaufzeitmäßig zusammengehörigen Ellipsen und Kreise (also gleich großer Halbachsen) aus der numerischen Integration (siehe untere der beiden Tabellen):

schneller Start in (2;0) ergibt Periapsis

langsamer Start in (2;0) ergibt Apoapsis


Hier die erspielten Werte für die Ellipse (sehr dicht an 4*Pi² = 39,48):

vy T a T²/a³ b eps
0,12 6,589 1,015 43,41 1,05 41,52 0,244 0,971
0,13 6,541 1,017 42,78 1,05 40,67 0,265 0,965
0,14 6,529 1,020 42,63 1,06 40,17 0,285 0,960
0,15 6,536 1,023 42,72 1,07 39,90 0,305 0,955
0,2 6,684 1,042 44,68 1,13 39,49 0,408 0,920
0,25 6,922 1,067 47,91 1,21 39,44 0,516 0,875
0,3 7,238 1,099 52,39 1,33 39,47 0,629 0,820
0,35 7,643 1,140 58,42 1,48 39,43 0,747 0,755
0,4 8,161 1,190 66,60 1,69 39,52 0,873 0,680
0,45 8,822 1,254 77,83 1,97 39,47 1,008 0,595
0,5 9,673 1,333 93,57 2,37 39,50 1,155 0,499
0,55 10,785 1,434 116,32 2,95 39,45 1,317 0,396
0,6 12,272 1,562 150,60 3,81 39,52 1,500 0,279
0,65 14,316 1,732 204,95 5,20 39,45 1,711 0,155
0,707 17,762 1,999 315,49 7,99 39,47 1,999 0,000
0,75 21,725 2,286 471,98 11,95 39,51 2,268 0,125
0,8 29,089 2,778 846,17 21,44 39,47 2,667 0,280
0,85 42,98 3,604 1847,28 46,81 39,46 3,227 0,445
0,9 75,86 5,263 5754,74 145,78 39,48 4,130 0,620
0,95 206,425 10,258 42611,28 1079,41 39,48 6,086 0,805

Und hier die erspielten Werte für die Paare von Kreisen und Ellipsen (die Startgeschwindigkeiten von Kreis – vy0 k – und Ellipse – vy0 e – sind als unabhängige Variable so gewählt worden, dass gleichgroße große Halbachsen entstanden sind; die numerische Exzentrizität – eps – ist berechnet worden und die Halbachsen sowie die Zeiten sind „gemessen“, also aus den entsprechenden Tabellenwerten herausgezogen worden):

Halbachse eps T E T K vy0 e vy0 k
1,1905 0,680 8,160 8,162 0,400 0,917
1,25392 0,595 8,822 8,820 0,450 0,893
1,3333 0,500 9,672 9,671 0,500 0,866
1,4337 0,395 10,790 10,776 0,550 0,835
1,5625 0,280 12,270 12,286 0,600 0,800
1,7316 0,155 14,320 14,318 0,650 0,760
1,9608 0,020 17,250 17,238 0,700 0,714
1,9994 0,000 17,760 17,744 0,707 0,707
3,60361 0,445 42,980 43,030 0,850 0,527

Noch genauere Werte erhält man durch genauere Iteration der Kreisbahn-Startgeschwindigkeit. Dazu müsste man sich ein kleines Programmchen schreiben. War ich zu faul und habe es freihändig in der EXCEL-Tabelle angepasst.

Hier nun grafisch dargestellt noch eine weitere Serie von Ellipsen (einschließlich Vergleichs-Kreis!) identisch großer Halbachsen (hier mit frei einstellbaren Start-Orten x und Start-geschwindigkeiten vy einheitlich iteriert auf die Umlaufzeit T=43) und somit sich tatsächlich ergebender identischer großer Halbachse a=3,6 (kann man dem Diagramm leicht entnehmen):

Ist das nicht hochinteressant, dass die Bummelei in der Apoapsis durch die Raserei in der Periapsis exakt ausgeglichen wird, wobei sich ja auch noch die Bahnlänge ändert? Die immer weiter „plattgedrückten Kreise“ ergeben trotzdem ein Bewegungsintegral (Zeit), das konstant bleibt… Hätte ich in Mathe besser aufgepasst, könnte ich das analytisch beweisen. Man sollte mal bei den unterschiedlichen Parameterdarstellungen nachschlagen. Jedoch: Wir haben es mit an den Computer delegiertem Fleiß aus der First-Principle-Modellierung heraus auch ohne hohe Analytik geschafft. Was will man mehr?

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