2.7.2.1.1 Qualitativer Denkansatz zu Parametern der Kugelstruktur
(zuletzt geändert: 05.05.2018)
Bevor man rechnen will, muss man sich über die wirkenden Gesetze klar werden. Das macht man am besten, indem man seine Gedanken qualitativ formuliert und in qualitativen Gedankenexperimenten überprüft. Wir wollen Objekte einer Phase B in einer Umgebung A entstehen lassen.
1. Gesetz: Der kritische Keimradius von B hängt von der Abweichung vom Gleichgewicht in A ab.
Das heißt, je größer die Abweichung vom Gleichgewicht, desto kleiner der gerade so überlebensfähige „kritische“ Keim. Das kann man unterschiedlich formulieren, nämlich über die radiusabhängige spezifische Grenzflächenenergie oder über einen radiusabhängigen „Innendruck“. (Siehe Keimbildung!)
2. Gesetz: Die Wahrscheinlichkeit einer Keimbildung hängt vom Radius des Keims der Phase B ab.
Das heißt, je größer der Radius, desto mehr Teilchen müssten sich „zufällig“ finden, desto unwahrscheinlicher also seine Bildung. Aus beiden Gesetzen zusammen folgt, dass die Keimbildungsrate doppelt von der Abweichung vom Gleichgewicht abhängt.
3. Gesetz: Die Wachstumsrate der Objekte von B senkrecht zur Oberfläche hängt von deren Krümmung ab.
Dafür gibt es zwei Gründe: Erstens ändert sich die Grenzflächenenergie mit dem Radius und zweitens ändert sich der Gradient des für die Zufuhr zuständigen Potentials der Umgebung (bei Schmelze ohne Konvektion oder bei Diffusion in fester Phase) mit dem Radius (rückgekoppelt über den Strom). In einer Schmelze mit Konvektion bedeutet das in jedem Fall, dass große Objekte schneller wachsen als kleine.
4. Gesetz: In einem abgschlossenen System verringert jeder gebildete Keim B und jedes Wachstum eines Objekts von B die verbleibende Übersättigung in A.
Das heißt erstens, dass das Wachstum asymptotisch zur Erreichung des Gleichgewichts führen muss, falls die Bilanzen beider Phasen das überhaupt zulassen. Das heißt zweitens, dass die Wahrscheinlichkeit weiterer Keimbildung im Laufe des Prozesses ständig sinkt. Das heißt deshalb drittens, dass kurz vorm Ende des Prozesses kleine Objekte zugunsten großer wieder verschwinden können. Das bedeutet letztens, dass im Gleichgewicht eine relativ geringe Streuung der Objektgröße (Kugeln) und eine relativ geringe Streuung ihres Abstands untereinander auftreten sollte. (Man kennt das auch von Kristall-Drusen, dass die einzelnen Individuen fast alle gleich groß sind.) Nach unendlicher Zeit könnte es theoretisch sogar passieren, dass nur ein einzige Objekt der Phase B in der Umgebung A übrigbleibt. (Man kennt Drusen aus Brasilien und Uruguay, in denen auf vielen gleich großen Amethyst-Kristallen ein einziger Kalzit-Kristall steht.)
Hier ein einzelner Baryt-Kristall in einer hämatitbedeckten Quarzdruse in einem Achat aus Reinhardtsgrimma, mit Sicherheit eine hydrothermale Bildung:
Alles, was das Struktur-Herz begehrt: Hohlraum ausgefüllt mit Achat, Quarzkristalldruse und Baryt-Solitär (Reinhardtsgrimma 2017)
Es bedeutet aber fast immer, dass auch in einem Vielphasensystem die erste abgeschiedene Phase Zeit hat, Größen und Abstände der Objekte mit geringer Streuung zu vereinheitlichen, wie es die Feldspäte in vielen Graniten (hier also relativ isometrische Kristalle statt Kugeln) deutlich zeigen:
Kopf-großer Björna-Granit (Roter Revsund-Granit) mit wunderbar gleichverteilten und fast gleich großen rotbraunen Feldspäten (Ahrenshoop 2018)
Nach den oben genannten Gesetzen würde der Prozess einer Kugelbildung in einer isotropen Matrix also wie folgt ablaufen:
- Durch irgendwelche Änderungen tritt eine Gleichgewichts-Verschiebung ein, die Keimbildung überhaupt ermöglicht.
- Die spontane Keimbildung hört auf, wenn in ihrer Folge die Abweichung vom Gleichgewicht gesunken ist.
- Das Wachstum der Keime ist sowohl größenabhängig als auch in Konkurrenz zueinander, so dass größere zwar schneller wachsen wollen, aber auch mehr Material brauchen, was so schnell nicht angeliefert werden kann. Dort, wo zwei dicht aufeinander zuwachsen, fehlt das Material beiden, so dass sich im Mittel ein gleicher Abstand und eine gleiche Größe einstellen.
- Ist das zum Wachsen erforderliche Material in dem Sinne aufgebraucht, als dass das Gleichgewicht wieder hergestellt ist, hört das summarische Wachstum auf. Ein individuelles Wachstum auf Kosten kleinerer Nachbarn ist bis zu deren Verschwinden denkbar, falls die Zeit (im Zusammenspiel mit der Teilchenbeweglichkeit und dem Abstand) dafür zur Verfügung steht.
Das Ergebnis sind dann gut verteilte ziemlich gleiche Kugeln, wie zum Beispiel in den Sandsteinen oben.
Die Parameter dieser Kugeln sind eigentlich wirklich nur die beiden folgenden: mittlere Größe und mittlerer Abstand, zusammen somit Volumen-Anteil, der aus der Zusammensetzung der Ausgangsphase A feststeht, welcher aber eben unterschiedlich aufgeteilt werden kann: Wenige große oder viele kleine Kugeln. Aus den Gesetzen von oben war zu erkennen, dass hier die Raten für Keimbildung, für Wachstum und für mögliche nachträgliche Umverteilung entscheidend sind. Diese müssen also bei einer Modellierung variabel gestaltet werden können.
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