Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.3.0 Was ist eine „Trajektorie“ und wodurch ist sie bestimmt?

Kann man einfach erklären, woraus sich eine Trajektorie ergibt?

Bewegt sich (im einfachsten Fall, also ohne Reibung und ohne eigenen Antrieb) eine Masse in einem Kraftfeld (oder eine an eine Masse gebundene Ladung in einem elektrischen Feld), so wirkt eine ortsabhängige Kraft in bestimmter Stärke und bestimmter Richtung auf diese Masse und verändert damit deren Bewegung.

Das ist alles.

Der Rest ist nur geschicktes Rechnen. Was oben in Worten formuliert worden ist, ist in physikalischer Sprache das Newtonsche Gesetz als Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung, beides sind Vektoren.

Der Vektor Beschleunigung verändert den Vektor Geschwindigkeit, und der wiederum verändert den Ortsvektor (das ist der Vektor vom Koordinatenursprung zum Ort der Masse).

Veränderungen werden physikalisch als Differenzen geschrieben und mathematisch zu Differentialen verfeinert. Bleibt man bei den Differenzen, integriert man numerisch, begibt man sich zu den Differentialen, integriert man analytisch, falls das gelingt.

Betrachtet man das Ganze geometrisch, will man „Formen“ von Trajektorien einordnen, also mit geometrisch bekannten Gebilden vergleichen, zum Beispiel mit einem Kreis, einer Ellipse, einer Zykloide, einer Rosette, einer…

Wenn das so ist, ist Differentialgeometrie gefragt, also die Benutzung ihrer typischen Hilfsgrößen wie „Bahn-Tangente“, „Bahn-Krümmung“, evtl. „Bahn-Evolute“ u.a.m.

Die Verknüpfung von Physik und Differentialgeometrie ermöglicht dann die Berechnung der „Trajektorie“, also der Bahn einer Masse in einem Feld. Hierzu sollte man einigermaßen sicher in der Vektorrechnung sein und keine Angst vor numerischer Integration und ihren Tücken haben.

(Bezieht man sogar noch die Reibung ein, kann man auch Trajektorien in der Luft, im Wasser oder sogar im Schnee berechnen oder optimieren, wenn man zusätzlich einen „Aktor“ in die Masse hineinsetzt, um anschließend nicht-geometrische Größe wie die Laufzeit zu optimieren (Ski-Slalom zum Beispiel).)

Im Falle der gravitativen Kräfte ist kein Teilnehmer im Raum „festgenagelt“, weshalb (ebenfalls nach Newton!) sich alle Teilnehmer bewegen können und dies auch tun, wobei sie dem Gesetz „Kraft gleich Gegenkraft“ gehorchen.

Jetzt liegt es wieder am Geschick des Bearbeiters, das Problem durch geeignete Wahl der Koordinaten nicht unnötig kompliziert zu machen. Das erfordert einige Übung.

In Wahrheit sind die einzelnen „Teilnehmer“ am gravitativen Kraft-Austausch nicht punktförmig, wodurch sich weitere Komplikationen ergeben.

Weil das so komplex ist, ist dieser Hauptabschnitt „Trajektorien“ so tief gegliedert und mit so vielen Beispielen und heuristischen Bemerkungen bestückt. Viel Spaß beim Durcharbeiten und Nachmachen!!!