Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.5.1.2 Versetzungsfreiheit der Achatbänderung und ihr mathematischer Hintergrund

Achate sind per definitionem mehrfarbig „gebänderte“ Chalcedonabscheidungen.

Woher aber kommt die Bänderung? Kommt sie „von außen“, also während des Wachstumsprozesses, oder kommt sie „von innen“, also „selbstorganisiert“ nach dem Wachstum durch rhythmische Umgruppierung?

Der einfachste Beweis dafür, dass die Bänderung der Achate NICHT „selbstorganisiert“ ist, liegt in ihrer Versetzungsfreiheit und ist somit von indirekter Art.

40 cm langes Stück Riesen-Trümmer-Achat aus der Müglitz der 80er Jahre: über 200 auch in „Ecken“ genetisch versetzungsfreie Schichten, dafür aber mit mechanischen Riss-Versetzungen (vom Finder geschnitten erworben und selber poliert)

25 cm breites Stück aus der Müglitz bei Weesenstein 2013, im oberen Bereich ist trotz der vielen Riss-Versetzungen eine Band-Spiegelung in länglicher Augen-Form zu erkennen (sah im Uferbereich wie grauer Schiefer aus, der dort auch als mächtiger Gang vorkommt)

Detail des großen Feinband-Stückes von 2013: Nach Abscheidungspausen geht es mit neuen Sphärolithen wieder los – und überall sind Hämatit-Plättchen zu sehen

30 cm breite makellose Schichtfolge mit großer Riss-Versetzung (Stollen Schlottwitz)

Weesenstein 2013: vom Fluss-Schotter abgerollte Seite eines kleinen Feinband-Stückes von „Neuber-Qualität“ (Pracht-Schatullen des „Grünen Gewölbes“)

Kleine Schatulle aus Achat (Schlottwitz und Hartmannsdorf) sowie Amethyst (Schlottwitz) als Eigenbau 2013

Die Roh-Bauteile der „Schatztruhe“ (Griff wurde dann weggelassen)

Als Gegenbeweis wäre also hinreichend, ein einziges Bild mit Achatversetzungen vorzulegen. (Als Beweis ist es hingegen nicht hinreichend, dass man hier viele versetzungsfreie Bilder vorlegt, denn diese könnten ja zielgerichtet ausgewählt sein.)

Deshalb noch ein paar Gedanken, was bei Selbstorganisation zu erwarten wäre:

Die mittlere (also wahrscheinliche) laterale Ausdehung einer „selbstorganisierten“ periodischen Struktur ist von unterschiedlichen systematischen Faktoren abhängig, die im Kontext zum zufälligen Ort der die Keime der Strukturbildung verursachenden Fluktuationen stehen. (Die seitliche Ausdehung der Struktur von einem Keim weg führt genau zu den Bedingungen, die neue Keime bilden können! Und sind Keime am unterschiedlichen Orten gleichzeitig entstanden – was sehr wahrscheinlich ist –  und lassen ihre seitliche Ausdehnung aufeinander zulaufen, so ist ein Mismatch wahrscheinlicher als eine Synchronisation.)

An dieser Stelle müssen sofort zwei Einwände behandelt werden:

  1. Das Auslaufen von Bändern an bestimmten Stellen ist KEINE Versetzung, sondern ein Hinweis auf lokal unterschiedliche Abscheidungs- oder Reifungsbedingungen.
  2. Die Versetzung kompletter Bandstapel entlang von Rissen ist ebenfalls keine genetische Versetzung, sondern nachträglich entstanden.

Ein weiterer Gedanke ist unabdingbar mit der Achat-Genese verbunden:

Die Achatbildung ist wie jeder sekundäre Prozess der Umordnung von Gesteins-Bestandteilen ein Wechselspiel von „Quellen“ und „Senken“. Es wäre naiv anzunehmen, dass der Ort der späteren Achate stets ausschließlich eine Senke gewesen wäre. (Auch manche Bergkristall-Sammler halten deshalb angelöste Oberflächen nicht für wertlos, sondern für eine begehrenswerte Besonderheit, wie sich überhaupt die Morphologie der Auflösung von Kristallen grundsätzlich von der des Wachsens unterscheidet.) Und schließlich können auch die Transportwege der Umordnung selbst zu Quellen oder Senken werden, und nichts davon ist endgültig. Und genau dieser Vielfalt der Einflussgrößen entspricht die Vielfalt der Erscheinungsformen der Achate selbst einer einzigen Fundstelle. (Dem Käufer von dekorativen Prachtstücken entgeht diese allerdings.)

Das Verständnis der Transportprozesse wäre also der Schlüssel zum Verständnis der Achatstruktur. Und wenn die Bänderung von außen kommt, so muss ein Transportprozess stattfinden, der große Teile der sich senkrecht zu sich selbst verschiebenden Phasengrenzfläche gleichermaßen bedient. Braucht man wirklich eine definierte Phasengrenzfläche oder ginge das auch mit einem stetigen Übergang zum Beispiel des Wassergehalts eines Gels?

Nun, der Gel-Gedanke ist in Mode gekommen, schließt leider aber eine lateral ausgleichende Querdiffusion an einer Grenzfläche aus, die, wie schon bei der morphologischen Stabilität der Kristalle besprochen, im stabilisierenden Falle die Volumen-Längsdiffusion (also parallel zur Wachstumsrichtung) überwiegen muss.

Ein noch raffinierterer Gedanke kann aus der Biologie oder der Nanotechnologie übernommen werden:

Es gibt ein rhythmisches Schichtwachstum konstanter Schichtdicken (also Morpholgie-erhaltend), wenn ein sogenannter „Precursor“ mit selbsthemmender Dicke als reaktiver Vorläufer der „eigentlichen“ neuen Schicht dient. Dann können (eindimensionale!) konvexe und konkave Kanten (im Schnittbild sind das dann „Ecken“) winkeltreu reproduziert werden, wie das aus vielen Bildern bekannt ist, was den „nulldimensionalen“ Keimen sphärischen Wachstums (im Schnittbild kreisförmige „Sphärolithe“) gleicher „Bauart“ entspricht, die ihrerseits in den Zwickeln sich verkleinernde konkave Winkel aufweisen, die ihrerseits wieder die Wachstumsrichtung nachträglich anzuzeigen geeignet sind.

Was man wieder sofort ausschließen kann:

Ein „Zufuhrkanal“ in einer Achat-Geode ist unsinnig, wenn es nicht auch einen „Abfuhrkanal“ gibt, denn bei der geringen Löslichkeit von Quarz in Wasser und bei deren geringer Druck- und Temperaturabhängigkeit wären erstens gravierende lokale Druck- oder Temperaturunterschiede erforderlich und zweitens gravierende Mengen an Lösungsmittel, die konvektiv durchgesetzt werden müssten. (Beide „Kanäle“ sind allerdings in Gängen mit einer Wandabscheidung a priori vorhanden, bis eine „dünne“ Stelle zugesetzt ist. Der gemischte Fall der Achat-Füllung von Riss-Zwickeln wie in Sankt Egidien zum Beispiel heizt die Debatte noch weiter an.)

Auch hier gilt wieder. dass die optische Beweisführung schwierig ist: Selbst dann, wenn ein Zufuhrkanal vorhanden wäre, könnte man Schnitte so in die Geode legen, die diesen ausschließt.

Zur Unterstützung dieses Gedankens vergleiche man die Umgebung von Achatgeoden mit der von teilweise vollendeten Pseudomorphosen. Diese funktionieren ohne Zufuhrkanal.

Trotzdem muss man feststellen, dass die Schnittbilder, die die Struktur eines vermeintlichen „Zufuhrkanals“ enthalten, besonders phantasieanregend sind.

Zu den vermeintlichen Zufuhrkanälen (hier „ZK“ genannt) eine kurze Bilderserie, die auch andere Bänderungs-Abweichungen enthält: Wellenlinien und Entfärbungen:

ZK und Restfüllung sind identisch, ZK streckt die Zunge raus

ZK und Restfüllung sind identisch

ZK und Restfüllung (kristallin) bis zum Rand

ZK mit eigener Struktur

ZK am breiten Rand

ZK am schmalen Rand

ZK am breiten Rand mit kristallinem Kern

ZK an der Spitze

Sphärolithe nach Pause ganz innen

Sphärolithe mittendrin

Interessantes Auge im Auge, als „ZK“ zu deuten?

Umfärbung

Umfärbung

ZK mit Moosachat

Wellen-Detail

Riesen-ZK

ZK außen und ZK innen

ZK ganz außen

ZK und AK gegenüber: wer ist wer? Und wer füttert den inneren Achat??


Ein Kompromiss-Gedanke für die Achat-Genese wäre ein Pseudo-Precursor, dessen Dicke umgebungsabhängig ist, so dass in engerer Umgebung nur eine dünnere Schicht vorbereitet werden kann, bis hin zur Schichtdicke Null, so dass „auslaufende“ Schichten um eine enge Stelle entstehen würden, die wie ein „Zufuhrkanal“ aussehen können. Da es solche auslaufenden Schichten aber auch an breiten Stellen gibt, muss die Erklärung im Quellen-Senken-Spiel, also in der Abhängigkeit der Neubildungsrate von den entsprechenden chemischen Potentialen (Druck, Temperatur, Zusammensetzung) liegen! Dieser Pseudo-Precursor könnte also tatsächlich eine Art Gel als Zwischenphase mit eignenen Grenzflächen sein. Man müsste also eine Modellrechnung probieren, die den spielerischen Übergang von einer kontinuierlichen Gel-Entwässerung zu einem Mehrphasen-Konzept (mit rhythmisch entstehenden räumlich geschlossenen Phasengrenzen) erlaubt.

Optimistische Behauptung: Ist die Entstehung dieser „Zufuhrkanal“-Struktur geklärt, ist die Achat-Genese überhaupt entmystifiziert. Eine mechanische Gel-Deformation als Ursache kann aus geometrischen Gründen (Masse- bzw. Volumen-Erhaltungssätze in Verbindung mit der Wirbelbildung!) ebenfalls ausgeschlossen werden.

Drei etwas provokante Gegen-Hypothesen für diese Klärung:

Erstens: Der Antransport des SiO2 erfolgt gar nicht als solcher. Das SiO2 bildet sich erst als Ergebnis des Transportes eines anderen Stoffes und durch Umwandlung am äußeren Rand der Achat-Geode und diffundiert dann nach innen (Achat) und nach außen („eingedanpfte“, nach außen abnehmend verkieselte Achat-Geoden- oder Achat-Gang-Umgebung).

Zweitens: Parallele und äquidistante Streifung entsteht durch weiträumig konstante Wachstumsgeschwindigkeit der nach innen in die Geode wachsenden Schichtung, weil sich die Hemmung der Diffusion durch länger werdende Diffusionswege und die Beförderung des Wachstums durch kleiner werdende konkave Flächen aufheben. (Siehe mathematische Beschreibung unten!)

Drittens: „Zufuhrkanal“-Schnitte sind Schnitte durch Gebiete mit Diffusions-Schatten-Wirkung, in deren Umgebung auch konvexe Wachstumsflächen auftreten, für die im Umkehrschluss zu Hypothese 2 die Schichtabstände zweifach begründet kleiner werden müssen, was auch zu beobachten ist!

Die wichtigste Hypothese ist die zweite, denn sie könnte erklären, warum sowohl der Rand als auch das Zentrum der Achat-Geoden eine andere Struktur aufweisen als das große Gebiet dazwischen:

Am Rand ist die Wachstumsgeschwindigkeit sehr hoch, weil die Diffusions-Schicht noch sehr dünn ist, und dort schießen Sphärolithe besonders schnell hervor und dämpfen ihre Geschwindigkeit sofort, weil sie konvex sind, und deshalb ist außerdem die Schattenwirkung irgendwelcher Diffusionshemmer enorm.

Ganz in der Mitte der Geode ist die Wachstumsgeschwindigkeit wieder sehr hoch, weil die beteiligte Fläche gering wird, was ebenfalls zu einer abweichenden Struktur führt.

Natürlich sind auch Geoden oder Gangachate bekannt, die eine Hyperstruktur aufweisen: Gebänderte Achatbereiche wechseln sich mit kristallisierten Quarzbereichen mehrfach ab: Sankt Egidien zum Beispiel (23 cm) oder schöne böhmische Achate aus dem Elbekies sowie große Schlottwitzer Stücke (50 cm) oder kleinere von Hartmannsdorf oder Marokko oder sogar aus dem nördlichen Ural (in dieser Reihenfolge):

Übrigens: Die Masse- und die Volumenerhaltung zwingen uns physikalisch, im Falle vorhandener Vorfüllung der Geode zwei Diffusionen anzusetzen, nämlich eine nach innen und eine nach außen, also ein Gegen-Diffusions-Paar, von dem der langsamere Prozess die Gesamtgeschwindigkeit in erster Näherung bestimmt, wenn man von Rückwirkungen des osmotischen Drucks absieht. Das ändert aber bis auf das Vorzeichen nichts an der Struktur der Gleichungen und somit auch nichts an den qualitativen Ergebnissen!

Interner Anhang: Mathematische Idealfälle in ein, zwei und drei Dimensionen

Idealfall 1: Räumlich konstante Dicke der Achat-Lagen

THESE 1

Die Diffusion von außen ist am einfachsten mit rhythmischer Konzentrations-Schwankung einer unbedeutenden Komponente der Quelle zu dokumentieren: Dann entstehen „Streifen“ als Zeitmarken (z.B. Sauerstoffkonzentration, Hämatitkonzentration o.a.m.).

1. Ein-dimensionales Diffusions-Wachstum („ebenes“ Problem)

Beginnen wir mit dem „trivialen“ eindimensionalen Fall, bei welchem die wachsende Dicke der Schicht rückkoppelnd den Transport verlangsamt, was noch analytisch einfach lösbar ist:

j = -D*dc/dx = -D*(ci-ca)/d                        Diffusionsstrom j über Diffko D und Konz c sowie Dicke d

(Hier geht man vereinfachend davon aus, dass der Gradient zu jedem Zeitpunkt neu über die gesamte Dicke konstant ist, was der exakten Diffusionsgleichung widerspricht, weil diese die zeitliche Änderung der Konzentration an einem Ort mit der zweiten Ableitung der Konzentration verknüpft.)

dd/dt = j/ρ                                                        Frontgeschwindigkeit über Dichte ρ

dd/dt = D/ρ*(ca-ci)/d                                   eingesetzt

dd*d = D/ρ*(ca-ci)*dt                                 Variablen getrennt

d²/2 = D/ρ*(ca-ci)*t                                      integriert

d = √[2D/ρ*(ca-ci)*t]                                    aufgelöst

An diesem Beispiel kann man also gleich einmal die Funktionsweise und Güte der von uns verwendeten numerischen Integration testen:

Abb. 1.1: Zeitmarkiertes 1-dimensionales Dickenwachstum durch innere Diffusion (Start bei Dicke 1, um Polstelle zu vermeiden) und Vergleich der numerischen Integration (blau: mit Dicken-Startwert) mit der analytischen Wurzelfunktion (rot): Da auch der absolute Fehler mit der Zeit sinken muss, weil die dünnere Schicht aufholt, sinkt der relative rasant. Rechts eine indizierte Streifung des Profils.

Für die Startphase könnte man den relativ großen Fehler ausgleichen, indem man zwei Parameter zur Vergleichs-Wurzelfunktion hinzufügt (z.B. positiven Offset (1) und verkleinerten Faktor (1,2 statt Wu(2)), aber das Problem der irgendwie festgelegten Konstanz innerhalb eines Zeittaktes bleibt trotzdem immer bei der numerischen Integration bestehen:

Auf jeden Fall ist mit diesem Versuch erwiesen, dass man mit numerischer Integration eine grundsätzliche Darstellung typischer Verläufe hinbekommen kann.

Fazit 1: Gäbe es zeitlich getaktete Hilfslinien im Achat, so würden diese im ebenen Fall mit wachsender Schichtdicke immer enger beieinander verlaufen, sofern es sich um reines eindimensionales (ebenes) Diffusions-Wachstum handelt.

2. Zwei-dimensionales Diffusions-Wachstum

2.1 Innen-Zylinderschicht-Wachstum

Haben wir einen zylindrischen Hohlraum zu füllen, nimmt die wachsende Fläche ständig ab und gleicht also das Sinken des Gradienten irgendwie aus. Aber wie genau?

Die obigen Gleichungen müssten über die Masse-Erhaltung modifiziert werden, wenn man die zwei- oder dreidimensionale Diffusionsgleichung umgehen will, denn die Annahme konstanter Verhältnisse während eines Zeittaktes betrifft nicht mehr nebenbei auch einen räumlich konstanten Gradienten: Der Massestrom ist nur dann über einen Ring integriert radiusbezogen konstant, wenn die Stromdichte innen höher ist, dem Radius also umgekehrt proportional ist.

Ji = Ja = Jr                                                                           Masseleistungsbilanz

Jr = -D*A*dc/dr|r                                                          Gesamtmassestrom bei r

Jr = – 2*π*r*l*D*dc/dr                                                Zylinderfläche

dr/r = – 2*π*l*D*dc/Jr                                                 Trennung der Variablen

Jr = 2*π*l*D*(ca-ci)/ln(ra/ri)                                    Integrationsergebnis

j(ri) = dc/dr|ri = 1/ri*(ca-ci)/ln(ra/ri) = ρ*dri/dt eingesetzt

dri/ra*ri/ra*ln(ri/ra)= – dt*(ca-ci)/(ρ*ra²)           Variablen getrennt: integrierbar? Ja!

ri²*(ln(ra/ri)/2+1/4) = t*(ca-ci)/ρ                            transzendente Funktion! Was tun?

t = ri²*(ln(ra/ri)/2+1/4)* ρ/(ca-ci)                           Umkehrfunktion abbilden und vergleichen mit

dri= dt * (ca-ci)/(ρ*ri*ln(ra/ri))                                              numerische Integrationsvorschrift

Die numerische Integration ergibt einen interessanten Verlauf:

Abb.2.1: Hohlraumradius als Funktion der Zeit: Diffusives Schließen eines Zylinder-Hohlraums: Innenradius als Funktion der Zeit (Anfangs-Schichtdicke 10-9=1) (blau numerisch, rot analytisch). Darunter ein Bild induzierter Schichten gleichlanger Zeitintervalle (schnelles Wachstum ganz außen und ganz innen ergibt dicke Schichten).

Fazit 2: Es gibt tatsächlich einen großen Bereich, in welchem sich die Verlangsamung der Diffusion durch Verdickung der Schicht und Beschleunigung des Wachstums durch Verkleinerung der Fläche ziemlich genau aufheben (Kurve mit Wendepunkt)!

(Das heißt natürlich im Umkehrschluss, dass bei konvexen Zylindern die Schichtdicke noch schneller abnimmt als bei ebenen Flächen!)

3. Drei-dimensionales Diffusions-Wachstum

3.1 Innen-Kugelschicht-Wachstum

Analog zum Zylinder kann man auch hier vorgehen:

Ji = Ja = Jr                                                                           Masseleistungsbilanz

Jr = -D*A*dc/dr|r                                                          Gesamtmassestrom bei r

Jr = – 4*π*r²*D*dc/dr                                                  Zylinderfläche

dr/r² = – 4*π*D*dc/Jr                                                   Trennung der Variablen

Jr = 2*π*D*(ca-ci)/(ra-ri)                                            Integrationsergebnis

j(ri) = dc/dr|ri = 1/2ri*(ca-ci)/(ra-ri) = ρ*dri/dt  eingesetzt

dri*(ri-ra)*2ri = dt*(ca-ci)/ρ                                      Variablen getrennt: integrierbar? Ja!

(2/3*ri³-ra*ri²) = t*(ca-ci)/ρ                                       transzendente Funktion! Was tun?

t = (2/3*ri³-ra*ri²) * ρ/(ca-ci)                                     Umkehrfunktion abbilden und vergleichen mit

dri= dt * (ca-ci)/(ρ**(ri-ra)*2ri)                                               numerische Integrationsvorschrift

Auch hier stimmt der Vergleich zwischen numerischer und analytischer Variante hervorragend:

Abb 3.1: Hohlraumradius als Funktion der Zeit: Diffusives Schließen eines Kugel-Hohlraums: Innenradius als Funktion der Zeit (Anfangs-Schichtdicke 10-9=1) (blau numerisch, rot analytisch). Darunter ein Bild induzierter Schichten gleichlanger Zeitintervalle (schnelles Wachstum ganz außen und ganz innen ergibt dicke Schichten).

Fazit 3: Es gibt auch hier tatsächlich einen großen Bereich, in welchem sich die Verlangsamung der Diffusion durch Verdickung der Schicht und Beschleunigung des Wachstums durch Verkleinerung der Fläche ziemlich genau aufheben (Kurve mit Wendepunkt)!

Fazit 3+2: Es spielt keine wesentliche Rolle, welche Wichtung die Komponenten von Kugel und Zylinder als Bestandteile einer realen (zusammengesetzten!) Form haben, solange der Hohlraumbereich nicht kurz vor einer „mittigen“ „Schließung“ steht.

 In jedem Falle führen in einem großen Radius-Bereich (Schichtdicke in gleicher Größenordnung wie Restvolumenradius) zeitlich äquidistante Farb-Störungen der Zufuhr zu räumlich äquidistanten Streifungen! (Eine Negation der Aussage wäre schwierig zu formulieren…)

(Das heißt natürlich im Umkehrschluss, dass bei konvexen Kugelflächen die Schichtdicke noch schneller abnimmt als bei zylindrischen oder gar ebenen Flächen!)

Genau das wird in Achaten, die geschlossene Räume ausfüllen, beobachtet:

Der Start geschieht relativ unruhig, mit (konvexen!) Sphärolithen und manchem Durcheinander, z. T. auch durch kleine Trümmer gestört. Anschließend ist der wesentliche Teil des Raums mit äquidistanten Bändern gefüllt, bis gegen die Mitte die Struktur wiederum unruhig wird (unabhängig von der mehr oder wenigen zufälligen Lage des Schnitts): Diffuse Restfüllungen oder kristalline Drusen.

Spannend sind die Fälle, wo beides sich schichtweise abwechselt: Achat und kristalliner Quarz. Manchmal ist einfach auch nur ein Neubeginn mit neuen Sphärolithen eingeschoben. Hier muss man von gravierenden Änderungen der Außenbedingungen ausgehen, die kurz unter dem Fall des Wechsels von Abscheidung und Auflösung liegen.

Aufschlussreich sind auch die Fälle, wo ein Hohlraum bleibt, der meist als kristalline Druse ausgebildet ist, manchmal aber auch wunderbare Achat-Sphärolithe enthält. (Diese haben strukturell natürlich Ähnlichkeit mit den „Glaskopf-Mineralien“ der Eisenerze und anderer.)

Ausgewählte Beispiele aus St. Egidien:

Amethyst-Druse

Baryt oben plus Amethyst-Druse

Morion-Druse

Jaspis unterschiedlicher Farbe

Freie Sphärolithe

Freie Sphärolithe


THESE 2

Eine intern ausgeglichene (flüssige) Mischung scheidet sich in zwei unterschiedlichen festen Phasen (mit zwei unterschiedlichen Konzentrationen) ab. Die möglichen „Übersättigungen“ vor dem Wechsel der Phasen sind groß genug, um makroskopische Lamellen entstehen zu lassen. Wie sehen die daraus folgenden Strukturen endlicher Mengen aus? Können sie äquidistant sein? (Tipp für Mechatroniker und Regelungstechniker: Analogie zum 2-Punkt-Regler als Einstieg, aber zusätzlich Rückwirkung auf bilanzbeeinflussende „Strecken“-Parameter!)

1. Ein-dimensionales Abscheidungs-Wachstum („ebenes“ Problem)

Es gibt jetzt zum Spielen unterschiedliche Paramater: Die beiden  Übersättigungs-Grenzkonzentrationen und die beiden Phasen-Konzentrationen. Eine endliche ebene Schicht zeigt dann folgende Phasenverteilung:

Schichtverteilung bei Wachstum von den beiden Seiten zu Mitte: Blau: Konzentrationsverlauf, rot/grün: Umschaltkonzentrationen für die Abscheidung

Die Flächen der nach unten und oben „überstehenden“ Bereiche sind annähernd gleich. Das „Restvolumen“ reagiert zunehmend empfindlicher gegen den Einbau der zweiten Phase.

2. Zwei-dimensionales Abscheidungs-Wachstum

2.1 Innen-Zylinderschicht-Wachstum

Man darf hier erwarten, dass KEIN Ausgleich zweier entgegengesetzter Prozesse eine konstante Schicht-Struktur entstehen lassen kann, da der wechselnde Einbau unterschiedlicher Konzentrationen bei hypothtisch gleich dicken Schichten einen mit sinkendem Durchmesser größeren relativen Anteil an der Restmenge hat, was im Umkehrschluss bedeutet, dass bei feststehenden Grenz-Übersättigungen die dazugehörige Schichtdicke geringer werden muss.

Die numerischen Rechnungen bestätigen das grandios:

Schematische Darstellung einer zweiphasigen Entmischungs-Struktur eines Zylinder-Hohlraums den Durchmesser entlang: Nach innen werden die Schichten dünner (oben Konzentration über Durchmesser dargestellt, unten mit weniger Linien zweidimensional – völlig gefülltes Zentrum weggelassen)

Da für drei Dimensionen keine qualitativ neuen Verhältnisse zu erwarten sind (Schicht-Volumen und Restvolumen bei der Kugel stehen zueinander wieder im Verhältnis des Radiusses!), erübrigt sich eine Umtersuchung.

Die Parameter des Prozesses sind (unabhängig von der Dimensionszahl):

– Ausgangskonzentration

– zwei Phasen für die Einlagerung (also zwei End-Konzentrationen)

– zwei Grenzkonzentrationen für den Phasenwechsel (Über- bzw. Untersättigung), i.a. von weiteren Parametern abhängig.

Über die Masse- und Volumenbilanzen erhält man dann den geometrischen Prozess-Verlauf. (Für einen echten Zeitablauf benötigte man noch die Zusammenhänge für die Verschiebungsgeschwindigkeit der Phasengrenzfläche.)

Wie nicht anders zu erwarten, ist die „Dominanz der Geometrie“ (vermittelt durch die Bilanz-Beziehungen) nicht zu brechen:

Eine Änderung der Parameter bringt nur quantitative Änderungen der Schichtung (absolute Abstände und Tastverhältnisse), aber keine qualitative Änderung der nach innen dünner werdenden Lagen:


Fazit 1: Eine Achatbänderung kann NICHT von einer Umverteilung von Komponenten durch einen bezüglich des Hauptmaterials außentransportfreien Wachstumsvorgang selbst stammen, denn dann dürfte es keine äquidistanten Bänder geben.

(Einschränkung: Diffusiver Abtransport von Wasser zur Reifung eines Gels ist von „außentransportfrei“ NICHT berührt.)

(Übrigens: Eine im Gleichgewicht ungleiche Verteilung eines Fremdstoffes an einer Phasengrenze des Trägerstoffes wird technisch für dessen Reinigung verwendet: „Zonenschmelze“. Oszillationen werden durch vernünftige Zeitregimes vermieden.)

(Siehe auch bei Modellierung!)

Idealfall 2: Winkeltreue Verschiebung der Innenwinkel von Lage zu Lage

THESE 3

Winkeltreue kann durch Außendiffusion erreicht werden.

1. Zwei-dimensionales Diffusions-Wachstum

Man sieht leicht durch reine Anschauung, dass bei einem spitzen Innenwinkel die gegenüberliegenden Seiten gleichzeitig Material anliefern und damit zu einer Abrundung der spitzen Kontur nach innen führen würden. (Vgl. Diffusion bei eckigen Strukturen und Verbiegung des Konzentrationsfeldes durch Kristallkanten dort!)

Die Voraussetzung für die dortigen Bilder war eine (durch Kunstgriff erreichte Situation: nämlich durch Ortskonstanz, was natürlich ein Widerspruch zum Wachstum ist) konstante Quell- und Senken-Konzentration. Die Bilanzgleichung erfordert bei einem großen lokalen Strom (großer Gradient) eine große Verschiebungsgeschwindigkeit und damit eine Veränderung der Geometrie zusätzlich zur Parallelverschiebung (welche durch eine einfache Transfomation zu eliminieren wäre).

Somit ist schon ohne Rechnung klar, dass neben der zweidimensionalen Diffusion von außen in den Innenraum auch an der Grenzfläche etwas passieren muss, damit die Innenwinkel erhalten bleiben können.

Andererseits kennt man aber auch Geoden, bei denen die Innenwinkel tatsächlich gefüllt werden und die Struktur allmählich rotationssymmetrische Gestalt mit u. U. äquidistanten Streifen annimmt. Daraus folgt, dass es zwei voneinander unabhängige Bedingungen geben muss, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit Äquidistanz und Winkeltreue eintreten.

Fazit: Volumendiffusion allein kann die Winkeltreue nicht erklären!

(Erinnerung: Bei der Modellierung des Kristallwachstums – sieh dort ziemlich am Ende dieser Seite – mit stabilen Ecken- und Kanten-Mustern musste neben dem Volumentransport eine Oberflächendiffusion stattfinden, die eine Mindestgeschwindigkeit – über die Temperatur-Optimierung einstellbar – aufzuweisen hatte, damit einerseits der übermäßige Antransport an den Ecken und ihrer Umgebung und andererseits der zusätzliche Bedarf an den Ecken ausgeglichen werden kann.)

Wir dürfen also postulieren, dass es auch an der Grenzfläche des Achats zu erhöhter Beweglichkeit kommen kann, so dass die Ecken scharf bleiben können.

Interessanterweise kann hier sogar ein ganz anderer Aspekt eine Rolle spielen: Antransport durch das Volumen des Achats hindurch von außen, Umverteilung aber ebenfalls durch das Volumen des Innenraums, der ja nicht notwendig leer sein muss, so dass der Umverteilungs-Vorgang nicht auf die Grenzfläche selbst beschränkt sein muss. Und nicht zuletzt ist die Precursor-Idee nicht von der Hand zu weisen.

Eine schlüssige Modellierung sollte also folgendes variabel gemischt erlauben:

Na dann… (gut Ding will Weile haben… Geduld bitte!)

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