Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens

Dimensionen und Raumbeziehungen

Um sich im Raum zurechtzufinden, nutzt man entweder ganz abstrakt ein Koordinatensystem und bezieht alles auf dieses mit Vielfachen einer Längen-Einheit, oder man entwickelt andere relative Begriffe.

Ein klassisches Beispiel für solche Begriffe sind „rechts“ und „links“. Fast jedem von uns ist schon ein Missverständnis mit diesen Begriffen passiert. Bevor wir das auflösen können, müssen wir einfach anfangen also mit dem 1-dimensionalen Raum.

1-dimensionaler Raum

Teilt man den 1-dimensionalen Raum in zwei halbunendliche Teilräume, so benötigt man dafür einen Punkt. Innerhalb eines der beiden Halbräume kann man unterscheiden, ob man dichter an der Grenze (dem Punkt) ist oder weiter weg, und kann dafür die Begriffe „unten“ (dichter dran) und „oben“ (weiter weg) einführen. Man kann auch den Nullpunkt einer Längenskala in den Trennpunkt legen und eine positive und negative Richtung festlegen und diese mit „unten“ und „oben“ oder „vorn“ und „hinten“ gleichsetzen. Und man kann einen Abstand zwischen zwei Punkten definieren, der hier gleich der Differenz auf der einzigen Skala ist.

Lässt man nulldimensionale „Objekte“ und eindimensionale „Objekte“ zu, so stellt man für beide fest, dass sie ihre Plätze nicht durch analoge physikalische Bewegungen „tauschen“ können (hypothetische Tausch-Operationen im mathematischen Symmetrie-Betrachtungs-Sinne sind natürlich immer möglich) , da sie nicht aneinander „vorbei“ können: Dazu bedürfte es schließlich einer zweiten Dimension. Somit gibt es nur folgende räumliche Beziehungen:

Physikalisch ist eine eindimensionale Massenzuweisung denkbar (ähnlich der „Linienlast“ in der Technischen Mechanik). Für diese lässt sich auch ein Gravitationsgesetz ansatzweise denken. Es hätte den Charme und die Crux der Linearität: keine Singularität im Massenpunkt und dafür unendliches Potential im Unendlichen, dafür aber überall gleichgroße Kraft. (Das ähnelt dem „ebenen“ Feldansatz im flachen Plattenkondensator…)

Das gleiche gilt für Transportprozesse wie Diffusion usw. usf.

ACHTUNG:

Alle diese Überlegungen sind hypothetisch, also „von außen“ (aus der dritten Dimension auf eine auf zweidimensionalem Papier gezeichnete eindimensionale Welt gesehen) angestellt. Die konsequente Vorstellung eines eindimensionalen Objekts in einer eindimensionalen Welt gelingt uns nur schwer, wenn wir auf den Blick „von außen“ verzichten wollen. Dann können wir nicht „hinter“ ein Objekt vor uns schauen und nur maximal zwei Objekte ausmachen: „vor“ und „hinter“ uns oder „unter“ und „über“ uns etc. Auch die Frage der Durchsichtigkeit oder Halbdurchsichtigkeit ist schwer zu beantworten, weil die Objekte nicht austauschbar sind…

Die Überlegungen sind trotzdem sinnvoll, um unser Verständnis für höhere physikalisch-mathematische Dimensionszahlen zu schulen.

2-dimensionaler Raum

Teilt man den 2-dimensionalen Raum in zwei halbunendliche Teilräume, so benötigt man dafür eine Gerade.  Innerhalb eines der beiden Halbräume kann man unterscheiden, ob man dichter an der Grenze (der Geraden) ist oder weiter weg, und kann dafür die Begriffe „unten“ (dichter dran) und „oben“ (weiter weg) einführen. Man kann auch den Nullpunkt einer Längenskala in die Trennlinie legen und eine positive und negative Richtung festlegen und diese mit „unten“ und „oben“ gleichsetzen.Das gleiche kann man längs der Trennlinie tun und hat ein zweidimensionales Koordinatensystem. Einfacherweise lässt man beide Koordinaten „senkrecht“ aufeinander stehen, wofür man ein „Abstandsgesetz“ benötigt.

Den „Abstand“ zwischen zwei Punkten definiert man unter Einhaltung der Richtungsunabhängigkeit mit dem Pythagoras.

Jetzt können 0- bis 2-dimensionale „Objekte“ existieren: Punkte, Linien und Flächen.

Da sich jetzt die endlichen „Teilräume“ umeinander bewegen können, sind analoge physikalische Tauschvorgänge möglich. Diese Teilräume verfügen über die Eigenschaften „Volumen“ (hier: 2-dimensionale Fläche) und „Oberfläche“ (hier im 2-dimensionalen gebogene physikalisch 1-dimensionale Begrenzungs-Linie). Die „Oberfläche“ kann Punkte enthalten, die als Schnittpunkte zweier auf sie zulaufender nicht paralleler Linien zu verstehen sind (also zwei Tangenten haben), was man „Ecken“ nennt.

Folgende räumlichen Beziehungen sind leicht definierbar:

Physikalisch ist eine zweidimensionale Massenzuweisung denkbar (ähnlich der „Flächenlast“ in der Technischen Mechanik). Für diese lässt sich auch ein Gravitationsgesetz denken. Es hätte qualitativ nur relativ geringe Unterschiede zum Dreidimensionalen und seine Lösungen würden auf der Überlagerung von Zylinderfunktionen beruhen (Bessel-Funktionen). Der Vorteil des endlichen Potentials im Unendlichen (verschwindende Kraft) wird allerdings durch den Nachteil der Singularität im Abstand Null aufgehoben. (Da ein  Abstand null bei endlicher Dichte aber physikalisch unsinnig ist und nur für die mathematische „Punktmasse“ relevant wäre, ist das kein Beinbruch. Übrigens: Im Zweidimensionalen können kreissymmetrisch verteilte Massen NICHT durch ihre Summe im Schwerpunkt ersetzt werden, wie das im Dreidimensionalen möglich ist! Man kann das durch numerische Integration relativ leicht überprüfen.)

Das gleiche gilt für Transportprozesse wie Diffusion usw. usf.: Alles denkbar, aber u.U. mathematisch anders zu formulieren.

BEMERKUNG:

Da es keine dritte Dimension gibt, kann man zwischen „links“-drehendem und „rechts“-drehendem Koordinatensystem nicht objektiv unterscheiden. Man glaubt aber festlegen zu können, welche der beiden Achsen, auf die man schaut, die erste und welche die zweite sien sollte. Aber stellen wir uns einmal das Zweidimensionale so vor, dass es im Dreidimensionalen aus unendlichen Prismen besteht, so erkennen wir, dass wir die beiden Achsen als zwei ebene Glaswände wahrnehmen würden, die sich unter einem bestimmten Winkel (gern 90°) schneiden. Unter Zuhilfenahme einer Schwerkraft könnte man eine der Achsen bevorzugen, aber sonst?

Obwohl also einer Richtungs-Änderung ein Winkelbetrag zuzuordnen wäre, wäre die „positive“ Seite nicht definierbar. Die multiplikative Vektor-Operation im zweidimensionalen Raum ist das Skalarprodukt mit der symmetrischen Cosinus-Funktion, das sich jeder Richtung entzieht. Unsere gewohnheitsmäßige „rechts“-„links“-Unterscheidung beruht also auf zwei Zusatzannahmen eines spiegelsymmetrischen Oben-Unten-Wesens: Es gibt ein „vorn“ (Blickrichtung in der Symmetrie-Ebene, der x-z-Ebene) im durch „oben“ und „unten“ (x-y-Ebene) in zwei Halbräume geteilten Raum, wodurch ein „rechts“ oder „links“ als negative oder positive Drehung um die z-Achse definierbar wird, was sich in der Nicht-Kommutativität des Vektor-Kreuzproduktes wiederfindet: Es gibt physikalisch und mathematisch ein „rechtes“ und „linkes“ Dreibein (siehe elektromagnetisches Feld z.B.).

Was heißt das für unser Weltverständnis? „Echte“ zweidimensionale physikalische Objekte kann es nicht geben, denn selbst eine Graphenschicht hat eine Dicke. (Wenn es keine nulldimensionalen physikalischen Objekte „gibt“, „kann es“ in „unserer“ dreidimensional beschriebenen Welt keine echt eindimensionalen und echt zweidimensionalen geben, weil diese zumindest in einer Dimension ohne Ausdehnung.)

(Dass es trotzdem zulässig ist, physikalische Objekte manchmal eindimensional oder zweidimensional zu beschreiben, liegt an ihrer Symmetrie: Sie hängen dann von zwei oder einer der Dimensionen NICHT ab, so dass diese zur Beschreibung obsolet werden.)

3-dimensionaler Raum

(kommt)