Joachim Adolphi

Der schiefe Mond

• Joachim Adolphi
• Dienstag, 14. März 2017
• Mittwoch, 24. April 2024
• Äquator, Beleuchtungs-Mondachse, Großkreis, Mond, Projektion, schiefer Mond

Verwunderliche Beobachtung 1: Die schiefe Mondphasen-Symmetrieachse

Über 60 Jahre alt musste ich werden, bevor ich mich zum ersten Male darüber gewundert habe, dass die Symmetrieachse der Beleuchtung des Zweidrittelmondes von seinem hellen Bereich aus in der Dämmerung nach oben zeigte, obwohl die Sonne schon unterm Horizont war. Was ich da sah, konnte einfach nicht sein, aber ich träumte ja nicht. Und wenn es wirklich so war, dann muss es ja immer so sein, und wieso also habe ich das noch nie bemerkt? Und noch schlimmer: Wieso begreife ich das nicht, ich, der sich promovierter Physiker nennt und einst die Mathe-Olympiade des ganzen Landes mit dem 1. Preis verließ? Peinlich, einfach nur peinlich.

Es war nur wieder eine neue Bestätigung dafür, dass ich im dreidimensionalen Vorstellungsvermögen leicht degeneriert bin, als Affe in den Bäumen also wenig Überlebenschance gehabt hätte. Meine Bewunderung für Vögel und Fische, für Eichhörnchen und Frösche sowie für Bildhauer und Architekten (und Entfesselungskünstler) wurde wieder lebendig: Die machen im Dreidimensionalen keine Fehler.

Also fragte ich meine Studenten gleich zu Beginn des Seminars, ob sie heute Abend auch schon in den Himmel gesehen hätten und mir vielleicht erklären könnten, was mit Sonne und Mond los sei. Sie liefen zum Fenster und sahen nichts Verwunderliches. War ihnen das also klar, was mir als Rätsel erschien? Aber auf meine Rückfrage erklärten sie nur, dass sie sich darüber noch keine Gedanken gemacht hätten. Dafür seien die Astronomen zuständig.

Gut. Dann muss ich eben meiner alten Methode treu bleiben, so lange eigene Gedanken zu wälzen, bis ich nicht mehr weiterkomme, und erst dann den Rest der Menschheit zu befragen: Lexika, Wikipedia, Google. (Und anschließend prüfen, ob man es selber darstellen oder widerlegen kann!)

Wie „macht man sich Gedanken“? Was ist „Denken“ im Sinne vom Lösen ungelöster Probleme? Wie „erarbeitet“ man sich ein neues Gebiet von Gedanken?

Ich habe da im Leben eine Methode für mich entwickelt, die oft funktioniert hat: Zuerst vereinfacht man das Problem so lange, bis unwiderlegbare Zusammenhänge (Banalitäten) übrigbleiben. Und im zweiten Schritt führt man dann Veränderungen ein, die das Problem langsam der Realität ähnlich machen. (Mathematisch würde man sagen, man lässt neue Variablen zu.)

Also heißt das Problem: Mond und Sonne und ein Betrachter auf der Erde. Was wäre der einfachste denkbare Fall?

Das wäre, wenn die Sonne gerade untergeht und der Mond im selben Moment auf. Dann steht der Beobachter zwischen beiden und sieht einen Vollmond (also einen Mond ohne eine einzelne ausgezeichnete Beleuchtungs-Symmetrieachse). (Dazu müsste genau genommen noch gegeben sein, dass der tatsächliche Horizont in beiden Richtungen auf der Höhe des Beobachters liegt. Dann befinden sich alle drei auf einer Geraden, nämlich der optischen Achse der Beleuchtung. Wäre der Beobachter nicht so klein, wäre sein Schatten auf dem Mond zu sehen! Und eigentlich wäre auch Mondfinsternis…)

Gut. Hier gibt es kein Problem. Und hier gibt es also auch keine Lösung für mein Problem.

Also müssen wir jetzt über die Mondphasen nachdenken. Davon gibt es beliebig viele, wir machen es uns einfach und nehmen nur 12 (für zunehmenden oder abnehmenden, die unterscheiden sich dadurch, dass der Mond nach oder vor der Sonne über den Himmel zieht; er bewegt sich also bezüglich der Sonne nach links, wenn man auf der Nordhalbkugel der Erde ist, bezüglich des Kirchturms im Süden aber im Tagesverlauf mit der Sonne nach rechts, nämlich von links im Osten nach rechts im Westen). Von der Sonne aus gesehen ist natürlich immer Vollmond, von der Erde aus aber nicht, weil ja der Mond seine Stellung zur Erde ständig ändert und deshalb mal auf der Sonnenseite der Erde ist (die Zeit um Neumond herum) und manchmal auf der Schattenseite (die Zeit um Vollmond).

Die zufällig gewählten zwölf Zwölftel der Mondphase ließen sich leicht mit freier Hand zeichnen, wenn man bedenkt, dass man sich in Gedanken nur eine halb weiß und halb schwarz bemalte Kugel vorstellen muss, die man um eine Achse dreht, die durch die Grenze von schwarz und weiß geht (ich bin faul und male weniger):

 

Sonne und Mond kommen sich am Himmel dabei immer näher, bei Neumond kann es sogar passieren, dass sich der Mond vor die Sonne schiebt (Sonnenfinsternis), und bei Vollmond kann es passieren, dass die Erde genau zwischen Sonne und Mond ist (Mondfinsternis).

Machen wir es mit der konkreten Situation also jetzt schrittweise etwas komplizierter: Mond und Sonne werden in Gedanken senkrecht über den Horizont gehoben, der Einfachheit halber beide um den gleiche Winkel, zum Beispiel 20 Grad. Seitlich werden sie nicht verschoben, ihre Himmelsrichtung ist also immer noch genau entgegengesetzt. (Das ist tatsächlich möglich, aber da müssten wir uns zum Beispiel zur Tag-und-Nacht-Gleiche am Äquator befinden.) Jetzt blicken wir „etwas von unten“ auf den Mond und auf die Sonne. Also sehen wir keinen Vollmond mehr. Die Symmetrieachse seiner Beleuchtungsfigur zeigt zur Sonne, also scheinbar senkrecht nach oben, nämlich genau vom Horizont weg. (Zumindest finde ich kein Gegenargument!) Man kann das ja mit einem Fußball und einer Schreibtischlampe ausprobieren. Es wird ein Dreieck Lampe-Fußball-Auge. Die Winkel könnte man eindeutig bestimmen, woraus eindeutig die Beleuchtungsfigur auf dem Fußball folgen würde.

Verflixt, was soll denn nun beim Mond und der Sonne anders sein, wenn wir in Deutschland sind und Sonne und Mond schräg zum Horizont auf- und untergehen? Gibt es dann kein Dreieck zwischen Sonne, Mond und Beobachter mehr, so dass sich die Beleuchtungsfigur drehen kann??

Da ich nun verwirrt bin, gibt es nur eine Rettung: Zurück zum Anfang und neu denken. Das heißt, genauere Fragen zu stellen. Wo läuft denn der Lichtstrahl im einfachsten Fall lang, der den gerade aufgehenden Vollmond beleuchtet? Natürlich durch mich hindurch. Stopp! Hier ist der Bruch im Gedankenversuch. Wollte ich den Lichtstrahl nicht am Himmel entlanglaufen lassen? Ja wo läuft er denn da lang? Am Horizont entlang? Ja über Norden oder über Süden?? Oder durch den Zenit (das ist der Punkt über mir)??? Es ist total unentschieden! Und es wirft die noch viel schwierigere Frage auf, wo denn „der Himmel“ eigentlich ist?

Na Gott sei Dank weiß ich jetzt, dass ich über Projektionen nachdenken muss.

(Projektionen sind Abbildungen von Punkten oder Gegenständen auf bestimmten Flächen. Ein Foto ist zum Beispiel die Abbildung dicker und dünner Menschen auf einer ebenen Fläche des Bildschirms oder des Papiers. Nehme ich eine Glasscheibe und sehen hindurch und male alles auf der Scheibe direkt nach, wie ich es sehe, so entsteht ein Bild in „Zentralprojektion auf eine Ebene“, denn mein Auge ist das Zentrum aller gedachten Sehstrahlen, die die Scheibe durchstoßen und zu den Objekten gehen. Wir haben gelernt, solche zweidimensionalen Bilder als Abbildungen dreidimensionaler Realität zu „sehen“ – mit Hilfe des trainierten Gehirns, sogar dann, wenn wir ein Auge zuhalten. Das zweite Auge nützt sowieso nichts, da das Abbild ja nur zweidimensional ist!)

Der Himmel (als Kugel gedacht) ist eine Projektionsfläche für Punkte (Sterne, Mond und Sonne) und Linien (hier Geraden der Lichtstrahlen). Das hat sich seit Jahrtausenden bewährt, weil wir die Entfernung der Sterne, der Sonne des Mondes, der Planeten sowieso nicht mit Hilfe unserer Augen einschätzen können, weil die Strecken, die wir uns seitlich bewegen könnten, längst nicht ausreichen, um einen dreidimensionalen Eindruck zu gewinnen. (Wer hier staunt, sollte sich überlegen, warum die Hühner den Kopf beim Laufen vorschieben und die Rotschwänzchen auf dem Pfahl ständig „knicksen“: Sie überlagern als Pflanzenfresser die Bilder der beiden Augen nicht – wie die Jäger – zu einem dreidimensionalen Bild, sondern gucken zu zwei Seiten, um das Blickfeld als Beutetiere zu erweitern. Deshalb verschaffen sie sich einen Raumeindruck durch seitliche Bewegung. Kann man nachmachen, indem man sich ein Auge zuhält und die seitliche Verschiebung der unterschiedlich entfernten Gegenstände – Stuhl und Tisch oder zwei Hände – betrachtet, die beim seitlichen Bewegen des Kopfes entsteht.)

Ich stelle mir also vor, Sonne und Mond und Lichtstrahlen laufen auf dieser Kugel entlang, in deren Mittelpunkt ich selber bin. Darf ich das überhaupt? Lichtstrahlen laufen doch in Wirklichkeit geradeaus!

Man kann sich ja vorstellen, in einer durchsichtigen elastischen Kunststoff-Kugel zu sitzen (mit denen kann man Wiesen hinab rollen oder auf dem bewegten Meer toben), und dann nimmt man einen Filzstift und zeichnet alles, was man sieht, genau dort auf die Innenseite der Kugel, wo man durch sie hindurch den Gegenstand sieht. (Das nennt man nun jetzt Zentralprojektion auf eine Kugeloberfläche.) Die Entfernung des „Himmels“ hat ja schließlich niemand festgelegt, da könnte ich also auch eine durchsichtige 4-m-Kugel nehmen.

Was passiert nun, wenn Lampe und Ball (beide außerhalb der Kugel) und Kugelmittelpunkt (ich) auf einer Geraden liegen? Nichts Besonderes – ich muss nur den Kopf aus dem Zentrum der Kugel nehmen. Der Ball wäre – bei durchsichtigem Kopf, hihi – voll beleuchtet zu sehen.

Nun nehme ich Lampe und Ball aus der Geraden heraus. Der Ball ist nur noch zum Teil beleuchtet aus meiner Sicht. Beide werden auf der Innenseite der Kugel zu gemalten Objekten. Nun will ich den Lichtstrahl auch auf die Innenseite der Kugel malen. Wo entlang soll der Strich verlaufen? Ich (im Mittelpunkt der Kugel), die Lampe und der Ball bilden ein Dreieck. Dieses Dreieck (als Fläche gesehen!) schneidet die Kugeloberfläche in einem Kreisbogen, dessen Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt ist, denn dort ist ja eine Ecke des Dreiecks (ich). Dieser Kreisbogen liegt deshalb auf einem sogenannten „Großkreis“ (das ist ein Kreis auf einer Kugel, dessen Mittelpunkt in den Mittelpunkt der Kugel fällt). Wo ist das Problem? Ja wo? Ich sehe es nicht mehr.

Großkreis: Man kann auf eine Kugeloberfläche viele Kreise malen, die kleiner sind als der Umfang der Kugel. Aber man kann auch solche malen, dem Umfang gleich dem Kugelumfang ist. Dann ist der Mittelpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt der Kugel identisch. Diese sogenannten „Großkreise“ (weil es keine größeren auf einer Kugel gibt!) haben eine praktische Bedeutung: Nimmt man zwei beliebige Punkte auf der Kugel und sucht den kürzesten Weg zwischen ihnen, so liegt dieser Weg nicht auf einer Geraden (wie in der Ebene, also einer Erde als Scheibe gedacht), sondern auf einem Großkreis. Und dieser sieht allerdings vom Mittelpunkt der Kugel wie eine Gerade aus! Wählt man aber zum Beispiel für den Weg von Berlin nach Los Angeles einmal eine konstante Himmelsrichtung (Westsüdwest) und ein andermal einen Großkreis (über Grönland, obwohl man in eine südlichere Stadt will!) und vergleicht die beiden Flugkilometer, so spart man auf der Nordroute richtig Sprit: 9.300 km gegen 10.700 km. (Bilder in GoogleEarth gemacht)

Es dauerte ein wenig, bis ich auf meine Gehirn-Fehlleistung gekommen bin. Die Schwierigkeit besteht darin, dass ich den Himmel nicht als Kugel, sondern als Halbkugel gesehen habe, die auf der Erdoberfläche (als Scheibe!!) aufliegt. Deshalb musste für mich die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, die in gleichem Winkel über dem Horizont (also über der Scheibe!) liegen, natürlich eine gerade Linie parallel zum Horizont sein! Und deshalb müsste die Symmetrieachse der Mondbeleuchtung waagerecht sein!

Ha, denkste! Auch an der Himmelskugel, der gedachten, gilt der Gedanke des Großkreises: Ein Kreisbogen auf ihm ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten der Kugel. Hm. Trotzdem schwer zu glauben, dass das auch für die Projektion von Lichtstrahlen gelten soll.

Was macht man da, um sich selber zu überzeugen, wenn man so ein alter schwerfälliger Kopf ist, der sich ungern von alten Überzeugungen und Denkgewohnheiten löst? Man macht noch weitere Gedankenexperimente, bis man sich sicher ist:

Ich kehre den Gedankengang einfach mal um:

Angenommen, wir haben zunehmenden Zweidrittelmond, dann steht der Mond im Südosten 120 Grad von der untergehenden Sonne im Westen weg, also schon ein bisschen „gegenüber“ so wie der Vollmond.

Da ich jetzt weiß, dass durch zwei gegenüberliegende Punkten einer Kugel mehrere Großkreise gehen können, deren Ebenen zueinander einen Winkel bilden, weshalb sie sich in den beiden Punkten auf der Kugel unter genau diesem Winkel schneiden (wie Längenkreise auf dem Globus sich im Nordpol und Südpol schneiden!), übertrage ich das auf mein Bild:

Der Horizont ist ein gedachter Großkreis auf der gedachten Himmelskugel, die Projektion des Lichtstrahls von der Sonne zum Mond ebenfalls. Einen Kreis habe ich als Gerade gezeichnet (den Horizont), den anderen als Bogen. Das kehre ich jetzt einfach um: Letzt ist der Lichtstrahl gerade, dafür ist der Horizont nun krumm, denn treffen müssen sie sich im Osten und Westen ja! Sieht komisch aus, aber stimmt schon, denn ich könnte mir ja auch denken, dass ich die Erd-Scheibe nach unten gekippt habe, wobei ich sie aber im Ostpunkt und im Westpunkt fest eingespannt hatte. Natürlich hängt der Südpunkt dann nach unten durch, was sonst? Dass das unserer instinktiven Vorstellung von der Erde als Scheibe widerspricht, ist aus logischer Sicht völlig ohne Bedeutung.

Fazit:

Da ich als Erdoberflächentier gewohnt bin, dass der Horizont für mich eine Bezugslinie und eine Bezugsebene darstellt, erscheint der Lichtstrahl von der Sonne zum Mond „gebogen“, obwohl er doch gerade ist. Dabei gilt auch das Gegenteil: Der Lichtstrahl ist gerade, nur der Horizont ist nach unten „gebogen“, denn der Lichtstrahl ist ja in unserem Gedankenexperiment nicht verändert worden.

Fazit:

Verflixte Gewohnheit! Sie ist in normalen Lebenslagen sehr von Nutzen, wenn man Alltagsdinge flott erledigen will. Man stelle sich vor, man müsste beim Aufstellen eines Regals die nördliche Breite berücksichtigen, um herauszufinden, ob es gerade steht! (Die unbelebte Wasserwaage zeigt übrigens dieselbe Gewohnheit wie wir zweidimensionalen Ebenen-Tiere.)

So. Nun dürfte mir alles klar sein:

Die Großkreis-Verbindungslinie zwischen Sonne und Mond geht nur bei aufgehendem oder untergehendem Vollmond wahlweise auch den Horizont entlang, sonst ist sie stets eindeutig gegeben, und zwar NIE parallel zum Horizont, denn der ist selber ein Großkreis der Himmelskugel, und zwei parallele Großkreise gibt es grundsätzlich nicht, weil sie nicht gleichzeitig denselben Mittelpunkt (Kugelmittelpunkt!) haben können.

Das bedeutet im Umkehrschluss: Der Horizont kann NIE parallel zu einem anderen Großkreis sein oder schon gar nicht einer von zwei geraden Schenkeln eines Winkels sein, dessen anderer Schenkel die Lichtstrahlprojektion auf die Himmelskugel ist. Nehme ich den Horizont als gerade, muss die Lichtstrahlprojektion gebogen sein. Nehme ich die Lichtstrahlprojektion als gerade (geht schließlich genauso immer wie die Annahme des Horizonts als gerade) an, so ist der Horizont gebogen.

Daraus folgt, dass die Symmetrieachse der Mondbeleuchtung, die ja auf dem Lichtstrahl liegt, nicht „gerade im Sinne einer Parallelität oder eines konstanten Winkels zum Horizont“ auf die Sonne zeigen kann.

Puh. Für einen Astronomen, der Stern- und Planeten- und Mondbetrachtungen bei wechselndem Sonnenstand (Tages- und Jahreszeit) beobachtet, ist das sicher eine banale Erkenntnis bzw. eine Alltagsgewohnheit, Großkreise auf der Himmelskugel in Beziehungen zu setzen. Aber für mich war das ein richtig schweres Problem. Umso besser, dass es nun gelöst ist. Die gewohnheitsmäßige Fixierung auf die Horizontlinie war das eigentliche Problem. Nun darf ich schwanken wie ein Suffkopp und auf jegliche Horizont-Fixierung verzichten!

Trotzdem bleibt die Frage: Kann man es auch anders erklären? Na klar. Es ist etwas umständlicher, aber in kleinen Schritten gemacht:

Man denkt sich die Sonne am Horizont und den Zweidrittel-Mond etwas oben. Seine Symmetrieachse zeigt nach „oben“, obwohl die Sonne „unten“ ist. Nun bewegt man sich in Gedanken auf der Erdkugel rückwärts schrittweise so vom Mond weg, dass die (in Gedanken stehen bleibende) Sonne am Horizont bleibt (man läuft also auf der Schattengrenze!), bis auch der Mond den Horizont berührt. Nun zeigt seine Symmetrieachse genau den Horizont entlang „geradeaus“ in Übereinstimmung mit der Gewohnheit zur Sonne. Nun „kippt“ man in Gedanken den Horizont (also die „Erdscheibe“) schrittweise langsam nach unten, bis die Ausgangssituation wiederhergestellt ist. Nun trifft Abb. 4 zu.

Übrigens: Handelt es sich um eine Mondsichel statt um einen Zweidrittelmond, so muss diese logischerweise dicht bei der Sonne stehen, und da ist der Unterschied zwischen vermutetem und gesehenem Winkel zur Horizontlinie so klein, dass das Phänomen der falschen Bezugslinie nicht auffällt. Und ist es fast Vollmond, so fällt es auch nicht auf, weil die Symmetrieachse schwer zu erkennen ist. Bei Halbmond geht es aber auch, dessen Achse zeigt, obwohl er ja „oben“ ist, bei Sonnenaufgang oder Sonnenuntergang waagerecht (also parallel zum Horizont) zur Seite.

Fertig. Wer noch andere Gedankengänge findet, ist besser als ich. Gratuliere! Es gibt garantiert noch weitere. Das also ist der Lohn des Wunderns: MAN LERNT IMMER DAZU! (Über die Phänomene UND über sich selbst.)

Und wem es noch nicht klar geworden ist, der muss selber noch schärfer nachdenken als ich. Viel Erfolg! (Es sind ja schließlich die gründlichen Menschen, die den eigenen Gedanken mehr trauen als den fremden.)

Zur Erläuterung meiner Antwort auf Davids Kommentar hier noch eine kleine Skizze, die sich in den Kommentar nicht einfügen ließ:

Angeregt durch David eine weitere Ergänzung:

Die Verzeichnung der Geraden bei fotografischen Weitwinkel-Aufnahmen ist „echt“, da sich zwei Geraden schließlich an beiden – gegenüberliegenden! – Horizontpunkten (oder auch anderen Fluchtpunkten) schneiden müssen, also in der Projektion auf die Fotoplatte oder den CCD-Chip gebogen sein müssen. Die Konstruktionsvorschriften für Parallelen in einer Zeichnung gelten also nur für kleine Raumwinkel. Das Auge hat in Zusammenarbeit mit dem Hirn bei ebenen Darstellungen dann eben ein Problem damit, die gebogenen Linien als Projektionen von Geraden zu verarbeiten. (Unser Gewohnheits-Blickfeld in der realen Alltagswelt ist eben nicht weitwinklig! Man müsste mal die Pferde fragen können…)

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