Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


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MATHE-Knobeleien

Das ist die Seite für Mathe-Interessierte zwischen 10 und 18. In zwei Schwierigkeits-Stufen werden Denk-Aufgaben gestellt, zu denen Lösungen samt Lösungswegen oder wenigstens zur Lösung führenden Überlegungen als Antworten (direkt ins Kommentar-Einabefenster oder per Email) erwartet werden. Ich werde diese ausschließlich lobend kommentieren. Die nächsten Aufgaben stehen dann immer als Unterkapitel dieser Seite zur Verfügung (einfach fortlaufend nummeriert).

Aufgabe LEICHT 1:

Gesucht wird die Anzahl z unterschiedlicher ungeradzahliger Produkte, die aus zwei beliebigen einstelligen natürlichen Zahlen gebildet werden können.

(Verallgemeinernde Ergänzungsaufgabe: Wie groß wird diese Anzahl z, wenn der höchste verwendete Faktor die natürliche Zahl n ist?)

Aufgabe SCHWER 1:

Gesucht wird die Teilbarkeitsregel für die 7 im digitalen Zahlensystem der Basis 8.

(Verallgemeinernde Ergänzungsaufgabe: Wie heißt die Teilbarkeitsregel für (n-1) im digitalen Zahlensystem zur Basis n?)

 

Viel Spaß beim Knobeln!

 

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Kommentare

Joachim Adolphi am Donnerstag, 21. März 2019:

Hier können die Kommentare abgegeben werden.

Joachim Adolphi am Donnerstag, 21. März 2019:

Klappt doch!

Krischan am Donnerstag, 21. März 2019:

Ich wollte schon herummosern, dass die Aufgaben unverständlich formuliert sind, aber das kann ja ruhig Teil des Rätselns sein, so ist das eben bei Textaufgaben. Nur: ich habe den Begriff „Digitalsystem“ tatsächlich noch nie gehört. Meinst du nicht einfach „Zahlensystem“?

Joachim Adolphi am Freitag, 22. März 2019:

Danke. Entschuldigung! Ich meine „digitales Zahlensystem“, also eines, bei dem die Stelle (digit) von Bedeutung ist, nämlich für die Potenz der Basis des Systems, von hinten angefangen mit der nullten Potenz. Fachsprachlich heißt das wohl „polyadisches Zahlensystem“, aber weiß das ein Schüler?
Mit der Basis 8 wären das also Oktalzahlen im Unterschied zu den geläufigen Dezimalzahlen. Und wie hießen dann die mit der Basis n?

Andere Zahlensysteme wären dann z.B. römische, chinesische oder etruskische, aber das gehört nicht hierher.

Übrigens: Der Begriff „Digitalsystem“ ist durchaus gebräuchlich, aber mehr unter den Elektronik-Bastlern. Da war ich also wirklich sehr ungeschickt.

Joachim Adolphi am Samstag, 23. März 2019:

Hab’s korrigiert.

Joachim Adolphi am Mittwoch, 3. April 2019:

Hier mal die Lösung für die Aufgabe 1 SCHWER (zum Anfüttern für die säumigen Leser gedacht):

Lösung:

Die Aufgabenstellung suggeriert, es mit der 9 im Zehnersystem zu vergleichen. Diese Teilbarkeitsregel lautet dort:

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Wenn wir herausfinden, warum das so ist, können wir es vielleicht auf andere Basen des Zahlensystems übertragen?

Erste grundsätzliche Überlegung:

Wenn man zu einer Zahl, die durch 9 teilbar ist, 9 oder ein ganzzahlig Vielfaches von 9 addiert, ist auch die Summe durch 9 teilbar. Man darf deshalb systematisch vorgehen und mit einer Addition von 9 beginnen.

Was passiert mit einer Dezimalzahl, wenn ich 9 addiere? Ich zähle zur letzten Stelle 9 dazu. Das geht in einem einzigen Fall ohne Übertrag, nämlich wenn die letzte Stelle 0 ist, wird daraus 9. Das ändert die Quersumme um 9, somit aber NICHT die Teilbarkeit durch 9. In allen anderen Fällen gibt es einen Übertrag von 1 auf die vorletzte Stelle. Dabei sinkt die letzte Stelle um 1, während die vorletzte, wie schon erwähnt, um 1 steigt, sofern sie nicht schon 9 ist. Die Quersumme ändert sich ebenfalls nicht. Ist hingegen die vorletzte Stelle 9, so wird diese zu 0 und die davorliegende erhöht sich um 1, falls sie nicht 9 ist usw. usf. In jedem Fall bleibt also bei einer Addition von 9 zu einer ganzen Dezimalzahl die Teilbarkeit der Quersumme durch 9 erhalten, falls sie existiert hat. Falls sie nicht existiert hat, kann sie auch nicht hergestellt werden. Der Rest bei Teilung der QS durch 9 bleibt sogar erhalten, wie man weiter auf gleichem Wege zeigen könnte.

Somit haben wir durch die Prüfung eines einsichtigen Anfangszustands (z.B. 18 + 9 = 27; QS 9 bleibt QS 9 und also durch 9 teilbar; 25 + 9 = 34, QS 7 bleibt erhalten; 10 + 9 = 19, QS erhöht sich um 9, Rest bei Teilung durch 9 bleibt erhalten) und durch die Prüfung eines beliebigen Schrittes einer weiteren Addition von 9 gezeigt, dass die Regel IMMER gelten MUSS. Das ist ein Beweis, der sich „vollständige Induktion“ nennt.

Man kann nun statt der 9 im 10 er-System auch die 7 im 8 er-System nehmen oder die 15 im 16-er-System (also die F im Hexadezimalsystem): Die Überlegung bleibt grundsätzlich die gleiche, womit der Beweis übertragbar ist. (Im Dualsystem oder 2-er-System ist das unsinnig, weil jede ganze Zahl immer ohne Rest durch 2-1=1 teilbar ist.)

Trotzdem ergibt sich eine Verwandtschaft zu Rechenregeln im Dualsystem, nämlich die Anwendung des Komplements zur Zahl „Basis-1“ bei der Ersetzung der Subtraktion durch eine Addition des Komplements mit kleiner Korrektur („kriegen wir später“).

Joachim Adolphi am Donnerstag, 25. April 2019:

Der Juri hat die Aufgabe 1 LEICHT gelöst und mir die Lösung „15“ privat mitgeteilt, ohne aber einen Lösungsweg anzugeben. Vielleicht war er einfach fleißig und hat probiert? Oder ist er systematisch vorgegangen?

Ob er gemerkt hat, dass man die Aufgabe unterschiedich verstehen kann?
1. Man kann das Wort „Produkt“ so verstehen, dass es für eine Formulierung einer Multiplikationsaufgabe steht: dann wäre 1*9 etwas anderes als 3*3, also zwei verschiedene „Produkte“.
2. Man kann es so verstehen, dass die Lösung der Aufgabe, also das Ergebnis selbst, gemeint ist: Dann wären 1*9=9 und 3*3=9 zwei gleiche „Produkte“ und also nicht verschieden.

Grundsätzlich gilt, dass ein Produkt nur ungerade sein kann, wenn alle seine Faktoren ungerade sind. Alle Primfaktoren beider Faktoren bleiben im Produkt erhalten, und wenn ein einziges Mal eine 2 dabei wäre (also mindestens eion Faktor gerade wäre), käme ein gerades Ergebnis zustande.

Für einstellige Zahlen bleiben also nur übrig: 1, 3, 5, 7, 9.

Die 5 Zahlen kann man ohne Berücksichtigung der Reihenfolge innerhalb des Paares zu 5 + 4 + 3 + 2 +1 = 6*5/2 = 15 Paaren zusammenstellen, wenn auch die Selbstpaarung erlaubt ist.

Nimmt man die Variante 1, so braucht man die Ergebnisse nicht miteinander zu vergleichen und erhält also die 15 Paare

1*1=1; 1*3=3; 1*5=5; 1*7=7; 1*9=9
3*3=9; 3*5=15; 3*7=21; 3*9=27
5*5=25; 5*7=35; 5*9=45
7*7=49; 7*9=63
9*9=81

Nach der Variante 2 würde lediglich die doppelte 9 als Ergebnis auftauchen, dann wären es nur 14 verschiedene Produkte. Das ist hier so einfach, weil nur die 9 selbst aus Primfaktoren zusammengesetzt ist, die weder sie selbst noch 1 sind und die somit die einzige Zahl ist, die keine Primzahl ist.

Die verallgemeinernde Ergänzungsaufgabe ist also nur für Variante 1 leicht zu lösen, für Variante 2 bräuchte man eine Formel für die Anzahl der Primzahlen, die es aber noch nicht gibt!

Wer schafft das nach Variante 1? Viel Erfolg!!!

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