Joachim Adolphi

4.2.2 Didaktische Nutzung der Geometrie für das Struktur-Verstehen

• Joachim Adolphi
• Samstag, 4. August 2018
• Freitag, 12. Oktober 2018
• Geometrie, Musik, Periodizität, Pythagoreisches Komma, Stützstellen, Veranschaulichung

(letzte Änderung: 14.08.2018)

Der Begriff „Struktur“ legt nahe, dass es um räumlich regelmäßige Erscheinungen geht, also um geometrisch zu beschreibende Phänomene. So könnte man „Struktur im engeren Sinne“ definieren.

„Struktur im weiteren Sinne“ wären dann regelmäßige Erscheinungen beliebiger physikalischer Größen. Diese lassen sich aber immer auch grafisch darstellen, wodurch man wieder bei räumlichen Beziehungen landen kann.

Da der Gesichtssinn für das Lebewesen Mensch bei der Erfassung seiner Umwelt obere Priorität hat (und auch bei vielen Tieren, für welche der Satz „Was ich höre, aber nicht sehe, muss ich fliehen“ gilt), glaubt er einer Grafik mehr als einer Gleichung, einem Foto mehr als einem Bericht (BILD weiß das).

Das nutzt man in der Didaktik von Mathematik und Naturwissenschaft sowie Technik: In vielen Modellen oder Animationen werden geometrische Figuren (statisch oder auch bewegt) genutzt, um Zusammenhänge zu veranschaulichen. Dem ist wenig entgegenzuhalten, wenn man zu berücksichtigen versteht, dass dabei durch (meist unbeabsichtigte) Vereinfachungen Missverständnisse passieren können.

Ein schönes Beispiel hierfür ist in den Technischen Sammlungen in Dresden zu bewundern:

Eine Reihe an unterschiedlich langen Fäden aufgehängter Kugeln (sie hängen aber in gleicher Höhe!) wird gleichzeitig durch Kippen eines Brettes angestoßen. Dann betrachtet man das entstehende Muster ihrer Pendel-Schwingungen und staunt. Erklärt wird nichts, man darf also selber nachdenken.

Was beobachtet man? (Anstelle von Fotos aus den Technischen Sammlungen hier ein Modell: Die zugehörige Pendel-Faden-Länge ist schematisch durch Striche angezeigt, der jeweilige Ort des Pendels in der Ebene senkrecht zum Faden, die Anfangsgerade zur späteren Orientierung, die Zeit ist in 40-steln der langsamen Grundschwingung getaktet.)

Zuerst verzieht sich die Gerade, die die Kugeln zu Beginn bilden, langsam zu einer Sinuslinie, dann wird deren Wellenlänge schnell kleiner, bis alle Kugeln erst chaotisch und dann geordnet gegeneinander schwingen, um sich anschließend wieder nach einem chaotisch empfundenen Zustand zu einer erkennbaren Sinuslinie zu ordnen, dann wieder eine Gerade und wieder eine Sinuslinie zu bilden usw. usf., bis ihre Schwingung durch Reibung verschwindet.

Gerade, Wellenlinie (Sinuslinie) und Gegenbewegungs-Zickzack sind charakteristische Formen, die jedem ins Auge stechen, auch wenn er von Mathematik nichts versteht.

Was ist der Trick dabei?

Durch eine geschickt gestaffelte Schwingzeit der nebeneinander hängenden Pendel kann man das eigentliche Nacheinander der Orte eines einzeln existierenden Pendels auf das Gleichzeitige der Orte vieler Pendel verteilen und eine „grafische Darstellung“ eines Quasi-Zeitablaufes erzeugen: Die Sinuslinie als Zeit-Funktion der einzelnen Auslenkung („Elongation“ e und Amplitude e0) kann „schriftlich“ durch

e = f(t) = e0*sin(w*t)

dargestellt werden. Man berechnet also für ein FEST gegebenes w (Winkelgeschwindigkeit w als zurückgelegter Winkel pro Zeiteinheit, mit der Zeit t multipliziert also eine Winkel als Argument einer Winkel-Funktion) zu verschiedenen Zeitpunkten die Elongation und trägt sie „grafisch“ in ein Diagramm ein oder nimmt „physisch“ eine Reihe von Pendeln gleicher Länge und stößt sie in gleichem Zeitabstand gleich stark an und schaut dann zu. Schwierig…

Man sieht aber, dass das Argument der Sinusfunktion ein Produkt aus Winkelgeschwindigkeit w und Zeit t ist. Oben sollte w konstant sein und t sich ändern, wie man das von einer Zeitfunktion erwartet.

Hält man aber jetzt die Zeit fest und ändert dafür die Winkelgeschwindigkeit, so ergibt sich ebenfalls

e = f(w) = eo*sin(w*t),

aber nun mit variablem w (beide sind formal mathematisch durch das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Multiplikation gleichwertig, denn eine Verdoppelung von w ergibt das gleiche wie eine Verdoppelung von t: (2*w)*t = (2*t)*w = 2wt). Verteilt man w linear auf verschiedene Schwinger, rechnet und macht „grafisch“ ein Diagramm, so bilden deren Elongationen zu einem FESTEN Zeitpunkt ebenfalls eine Sinuslinie aus!

Um das „physisch“ zu realisieren, muss man aus den gewünschten Winkelgeschwindigkeiten („Winkel“ heißt hier eigentlich Drehwinkel auf einer Kreisbahn, deren Projektion dann die Winkelfunktion der Schwingung ist) einer erforderlichen linear diskretisierten Folge die entsprechende Pendellänge ermitteln. Aus dem Zusammenhang der Schwingungsgleichung für das mathematische Pendel

w ~ √(1/l)

ergibt sich

l ~ 1/w²

(Eine Modellierung im Computer kann dann schon auch als Visualisierung der bekannten Lösung gestartet werden, wenn man nicht beabsichtigt, die Schwingung durch zweifache numerische Integration zu bewerkstelligen.)

Hier bei mir wurde es wie folgt gemacht:

w(i) = wo * (1 + k * i/n)

(i ist die Nummer des Pendels von 0 bis n und 1+k ist bei i=n der Faktor für die höchste Winkelgeschwindigkeit im Vergleich zur niedrigsten.)

Mit wachsender Zeit wird die entstehende Sinuskurve in diesem Modell immer weiter gestaucht, weil der Vorsprung der Nachbarn immer größer wird, bis unterwegs die Wellenlänge dem doppelten Kugelabstand entspricht (Gegenbewegung) und dann sogar dem einfachen Abstand (wieder als Erscheinungsbild eine Gerade!), um dann erneut eine Sinuslinie zu bilden, obwohl der Vorsprung zum Nachbarn jetzt schon etwas über eine gesamte Schwingung beträgt; und das wiederholt sich beliebig oft, weil es im Modell keine Reibung gibt.

Um sich in das Modell einzulesen, hier mal eine einfache Einstellung mit 3 zusätzlichen Pendeln, wodurch sich die Frequenzen wie 1 : 2 : 3 : 4 verhalten, also zum Beispiel wie c : c‘ : g‘ : c“ in der Musik (Zwei Oktaven mit einer Quinte dazwischen):

Die Programmtaktzeit ist wieder ein Vierzigstel der langsamsten Schwingung des längsten Pendels, und da das Schnellste immer den Faktor 4 hat, ist sie dort ein Zehntel. Oder anders gesagt: In 40 Takten macht das linke Pendel 1 Schwingung, das nächste 2, dann 3 und zum Schluss 4.

Schaltet man drei weitere Pendel dazwischen, so sieht man auf den ersten Blick Erstaunliches:

Fazit: Die eingefügten Zwischenfrequenzen zeigen, dass das Quasi-Schwingungsbild bei 3 Zusatz-Pendeln trügt, denn es sind nicht diskrete Stützstellen einer definierten Sinuskurve, die abgebildet werden, sondern „zufällig“ auf Sinus-Werten liegende Zwischenwerte einer höheren geometrischen Quasi-Frequenz. Dieses Spielchen kann man beliebig oft wiederholten, hier nur ein einziges Beispiel mit zwei weiteren Verdoppelungen auf 24 Zusatz-Pendel:

Fazit: Das grafische Wiedererreichen der Ausgangssituation ist also einer bestimmten Diskretisierung der Pendellänge geschuldet, entspricht also der „Schwebung“ bestimmter diskreter Frequenzen, und die im Modell neu entstehende Sinuslinie ist also in Wirklichkeit, wenn man die insgesamt zurückgelegten Winkel berücksichtigt, nur ein grafischer Artefakt. Das entspricht dem berühmten Witz vom Ausreißen vor dem Löwen beim Lauf um die Telefonzelle, wenn Fritzchen sagt: „Keine Angst, ich habe drei Runden Vorsprung!“

Wie kann man diesen Versuch also anders interpretieren? Man visualisiert „Schwebungen“ mehrerer benachbarter Frequenzen. Das erinnert an die Musik und also an die Physik der Mehrklänge, deren Schwebungszeit um so kürzer ist, je „harmonischer“ sie klingen. Je mehr Pendel hier eingeschaltet werden, desto länger wird somit die Schwebungszeit!

Weiteres Rechenbeispiel:

Sechs Zusatz-Pendel in 2 Oktaven (Faktor 4) ergäben die Frequenzen

2/2 : 3/2 : 4/2 : 5/2 : 6/2 : 7/2 : 8/2 oder musikalisch

c : g : c‘ : e‘ : g‘ : b‘ : c“ (ungefähr der C-Septakkord) (siehe auch dort).

Im Vergleich zum ersten Rechenbeispiel ist hier natürlich tatsächlich auch die erste unvollständige Schwebung zu hören, denn wir können erstaunlicherweise den Schwingungssalat mit unserem Ohr analysieren, sozusagen eine Fouriertransformation des komplexen Schwingungsbildes in ein diskretes Spektrum machen!

Das heißt im Umkehrschluss, dass die oben genannten „Schein-Identitäten“ (aus mathematischer Sicht) überraschenderweise physikalisch und physiologisch einen praktischen Sinn haben!

(Ob das die Macher in den Technischen Sammlungen in Dresden im Sinn hatten??)

Für Feinschmecker noch eine weitere Ausreizung meines Programmchens zum Test der Tragfähigkeit der eigenen Gedanken des Lesers:

Bei 1280 und natürlich bei 3840 ist Identität im Sinne der 96 Zusatz-Pendel. Um 640 ist gute Gegenbewegung vorhanden. Bei t=80 ist im Gegensatz zu oben (24 Zusatzpendel) natürlich noch eine schöne Sinuslinie zu sehen.

Hier noch einige verwandte und weiterführende Gedanken aus obigem Anlass:

1. Numerische Mathematik

Stützstellen-Artefakte bei periodischen Funktionen sind ein interessantes Spielgebiet (Telefonzellen-Löwe). Liegt der Stützstellen-Abstand dicht neben der Wellenlänge, so erscheint eben eine Art Schwebungs-Welle. Ist der Stützstellen-Abstand weder klein genug für eine „ordentliche“ Abbildung einer Funktion noch groß genug für eine erkennbare Schwebung, so erscheint ein „Chaos“.

2. Musik-Ästhetik

Die Obertonreihe hat einen konstanten Frequenz-Unterschied (oder Frequenz-Differenz) zwischen ihren Nachbarn, da die Schwingungsgleichung (viele!!) diskrete Lösungen als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz hat. Sie ist also mit obigem Modell verwandt und bei drei Zusatz-Pendeln und dem Maximal-Verhältnis von 4:1 exakt dargestellt.

Ein musikalisches Intervall ist aber durch ein Frequenz-Verhältnis charakterisiert, was der Obertonreihe widerspricht, wenn man Intervalle „stapelt“. Die Umkehrung des Stapelungs-Gedankens ergibt also quasi eine logarithmische Anordnung der Klaviertasten im Vergleich zu den hyperbolischen Bünden einer Gitarre: gleiche Abstände sind gleiche Verhältnisse (Rechenstab für die ältere Generation!).

Für die Unterteilung einer Oktave (2:1) in gleiche Intervalle ergeben sich daraus nur einige wenige diskrete Lösungen im Rahmen der üblichen europäischen Tonleiter:

• Halbierung: 2. Wurzel aus 2: 2 mal Tritonus: c – fis – c‘
• Drittelung: 3. Wurzel aus 2: 3 mal Große Terz: c – e – gis – c‘
• Viertelung: 4. Wurzel aus 2: 4 mal Kleine Terz: c – es – fis – a – c‘
• Sechstelung: 6. Wurzel aus 2: 6 mal Ganzton: c – d – e – fis – gis – b – c‘
• Zwölftelung: 12. Wurzel aus 2: 12 mal Halbton: chromatische Tonleiter

Wer genau aufgepasst hat, erkennt Widersprüche:

Die Große Terz kann man auch in der Obertonreihe finden, nämlich 5/4 (=1,25), was aber nicht mit der o.a. 3. Wurzel aus 2 (=1,26) übereinstimmt. Das hat den gleichen Grund wie die Tatsache, dass das „Wohltemperierte Klavier“ (besser: die wohltemperierte Stimmung) Quinten hat, die vom Verhältnis 3/2 abweichen, weil sonst der Quinten-Zirkel nicht aufgeht, denn (3/2) hoch 12 (=129,746) ist nicht gleich 2 hoch 7 (=128, also eine echte Zweierpotenz und damit wieder eine Oktave des Grundtons und somit ein echter „Zirkel“!). Will man die 12 Quinten also in die 128 pressen (damit alle Tonarten ungefähr gleich aufgebaut sind – im Gegensatz zu den alten Kirchentonarten), so muss jede ein wenig zu klein ausfallen: 1,4983 statt 1,5=3/2. (Diese Berechnung der Abweichung geht auf Pythagoras zurück und heißt deshalb „Pythagoreisches Komma„.) (siehe auch dort) Das könnte man auch auf die Sekunden berechnen, am einfachsten schon, indem man das Obertonverhältnis 9/8 (=1,125)  mit der 6. Wurzel aus 2 (=1,1225) vergleicht. (Gute Klavierstimmer und Orgelbauer hören eine bestimmte Schwebung der gewollten unreinen Quinte und können anhand dieser die wohltemperierte Quinte „stimmen“. Auch die Streicher im Orchester müssen das üben. Die wohltemperierte Quinte klingt somit nicht so „hohl“ wie die mathematisch reine…)

3. Quasi-„Strukturen“ des „Stützstellen-Salats“

Man kann es auch zum Fetischismus treiben mit den „Schwebungen“ zwischen den Stützstellen-Werten, wenn man mit den Variablen des Modell-Programms spielt. Da bleibt die experimentelle Erkenntnis von „Gesetzen“ nicht aus:

• Die Zahl der zu absolvierenden Grundschwingungen (des langsamsten Pendels), bis wieder eine sich parallel bewegende Gerade durch die Null-Linie entsteht, ist gleich der Zahl der Zusatzpendel. Logisch: Bei n Zusatzpendeln auf 4:1 ist die Differenz 3/n * wo.
• Ist n durch 3 teilbar, ist schon bei einem Drittel der Grundschwingungen eine Schwebung abgeschlossen.
• Ist n nicht durch 3 teilbar, sind bei einem Drittel und bei zwei Dritteln ebenfalls beinahe Geraden zu sehen, aber diese nicht an der Null-Linie, sondern abwechselnd bei den Amplituden.
• Bei der Hälfte ist eine Gerade an der Null-Linie als Momentaufnahme des Gegentaktes vorhanden.
• Bei weiteren einfachen Anteilen der Gesamtzeit sind „sich im Zeitablauf bewegende (rotierende) und gleichzeitig streckende oder stauchende Schneckentriebe“ zu sehen (zu interpreieren).

4. „Quanten“

Alle diese an „Eigenwerte“ erinnernden Überlagerungs-Erscheinungen sind mit der Existenz von „Quanten“ verwandt: Verknüpfungen physikalischer Gesetze mit Raum und Zeit unter Beachtung von Randbedingungen, Anfangsbedingungen und Erhaltungssätzen.