1.2.4 Zweidimensionales zelluläres Formenwachstum analog den Kristallen
Frage:
Kann man mit ähnlichen Regeln und einem Start mit einem „Keim“ (statt im Chaos) ebenfalls stabile Strukturen erzeugen?
Natürlich will man nun auch die einfachste (??) Frage nach dem zweidimensionalen Kristallwachstum im Rahmen dieses Modells durch entsprechend eingestellte Regeln beantworten:
„morphologisch“ stabil oder nicht?
Wieso ist das überhaupt eine Frage? DESHALB:
Bei „gleichmäßiger“ Zufuhr ringsum muss sich irgendwann
– entweder ein Kreis bilden (Isometrie)
– oder ein abgestumpfter Stern (vorhandene gerade Abschnitte verschieben sich parallel nach außen, ohne die Zwickel füllen zu können.
Der „normale“ Kristall behält aber seine Form beim Wachstum bei. Wie macht er das??? Woher nimmt er die Teile für die weiterhin (gegenüber dem Kreis) „vorspringenden“ Ecken?
Zwei Varianten bieten sich an:
– Die Ecken ragen in Gebiete besserer Versorgung und sind also im genau richtigen Maße bevorzugt.
– Die schon absorbierten Teile wandern auf den Seiten zu den Ecken hin.
Die Realität kann (muss aber nicht) dazwischen liegen, also eine Kombination von beidem sein.
Das gilt es schrittweise zu modellieren! Dann müssen beim Start als Quadrat ODER als Kreis DIESELBEN Endfiguren entstehen, wenn es wirklich um stabile Endformen geht!!
Dazu muss man sich klar sein, welche Typen von Nachbarschaft es auf der „Oberfläche“ eines zweidimensionalen Kristalls (also am Rand der Start-Konfiguration) gibt:
Neubildung:
– 3 leere Ecken-Nachbarn haben 1 oder 2 volle Nachbarn (hier: über Seite ODER über Ecke)
– leere Seiten-Nachbarn habe 3 volle Nachbarn
– 3 leere Stufen-Nachbarn haben 1, 2 oder 4 volle Nachbarn
– 2 Seiten-Loch-Positionen haben 2 oder 5 volle Nachbarn
– Stufenlochgrund hat 6 volle Nachbarn
– Doppellochgrund hat unten 7 volle Nachbarn
– Volumenloch hat 8 volle Nachbarn
Erhaltung
–Ecken haben 3 volle Nachbarn
– Seiten haben 5 volle Nachbarn
– Innere haben 8 volle Nachbarn
– 3 Stufenpositionen haben 4, 6 oder 7 volle Nachbarn
Geht man von einem Rechteck aus, so Hilft die Regel (2,3,5,6,7,8/1,2,3) zum Erhalt des Rechtecks weiter, bei (2,3,4,5,6,7,8/2,3) werden somit die Ecken zum Achteck angefast, und nimmt man die 3 aus der Neubildung heraus und setzt dafür die 1, so bekommt man ein pulsierendes Skelett-Wachstum, dessen innere Struktur von den höherwertigen Überlebenszahlen abhängt:
Skelett-Kristalle der alten alphanumerischen Ausgabe
Weitere tausende Spielchen erspare ich mir hier, vielleicht nur noch ein Kochsalz-Sole-Schwimmer-Bild und meine Initialen-Entwicklung:
Kochsalz-Hohlpyramiden als ehemalige „Schwimmer“ auf der Siedesole (oben etwa 2 cm groß)
JA-VariantenBei den obigen Bildern ist nicht von einem „gesunden“ Rechteck ausgegangen worden, sondern von einem „gestörten“ („JA“ als zwei Buchstaben im 6×5–Pixel-Format). Bei einem streng nach der Regel determinierten Wachstum entstehen ohne Oberflächen-Verheilungschance (aber mit nachträglicher Volumen-Verheilung und Volumen-Auflösung!!) die hier ausgewählten Bilder.
An dieser Stelle entstehen nun wesentliche Fragen zum weiteren Vorgehen bei der Modellierung des Kristallwachstums:
– Die nicht-isometrische Darstellung mit alphanumerischer Ausgabe erschwert die Symmetriebetrachtungen, auch wenn sie zu grundsätzlichen Fragen der Entstehung stabiler, periodischer oder wandernder Strukturen hinreichend war. Sie sollte durch eine grafische Ausgabe ersetzt werden, die dann auch in 3D erfolgen kann. (Version 4)
– Die komplette gleichzeitige Abarbeitung „eines Taktes“ des zellulären Automaten (über Zwischenspeicherung im virtuellen Raum) steht im Widerspruch zur thermodynamischen Natur des realen Wachstumsvorgangs. Es sollte deshalb eine nachbarschaftsabhängige Wahrscheinlichkeit eingeführt werden, damit die Chance der „Ausheilung“ von Fehlern „übersättigungsabhängig“ modelliert werden kann.
Erste Verbesserung: Grafik: Erledigt
Inhaltliches Ziel: Gibt es eine Regel, die das Chaos der kleinen Gruppen so ordnet, dass nur wachstumsfähige Große überleben? JA! Das hängt dann natürlich von der Anfangsdichte stark ab.
Chaos-Entwicklung dichteabhängig
Neben den vielen kleinen osziliierenden Objekten traten bei der Variation der Abbildungs-Regel auch schön aufblühende Gebilde mit oder ohne bleibenden Samenstand auf, wenn man vom 11 x 11 – Quadrat ausgeht:
Blumen mit Samen, tw. oszillierend!
Blume ohne Samen
Zweite Verbesserung: Wahrscheinlichkeit: erledigt
Um der Thermodynamik näher zu kommen, sollte man die Wahrscheinlichkeit der „Anlagerung“ neuer Teilchen von der „Bindungsenergie“ abhängig machen, also von der Zahl der Nachbarn. Um auch „Molekül-Kristalle“ wachsen lassen zu können, sollte da nicht zwangsläufig eine monotone Funktion gelten, sondern eine freie Zuweisung erfolgen können.
Grundsätzlich:
Um vorerst alles an der Peripherie stattfinden lassen zu können, müssen „innere“ Bausteine erhalten bleiben (innere Erosion über Diffusion erst später behandeln). Im Zweidimensionalen gäbe es dann Anlagerungen folgender Art:
Beispiel für „Standard-Bindungsenergie“
– 1=0+1= 10%: spitz auf Ecke
– 2=1+1= 25%: stumpf an Ecke oder Stufe
– 3=1+2= 35%: an Seite
– 4=2+2= 50%: in Stufe
– 5=3+2= 65%: in Loch
– 6=3+3= 75%: in Stufenloch
– 7=3+4= 85%: in tiefes Loch
– 8=4+4=100%: in Fehlstelle (nur bei Diffusion!)
Maximal-Wünsche:
– Für alle Situationen sollte eine Handeingabe möglich sein, um die Folgen frei studieren zu können.
– Ein „Temperatur“-Einfluss sollte über einen Arrhenius-Ansatz studierbar sein.
Daraus ergeben sich Bedingungen für das Fitten der Anlagerungs-Wahrscheinlichkeit A(T): Maximal 1 in Position 8 bei minimaler Temperatur. Alle anderen berechnen sich dann aus der komplementären Verdampfungswahrscheinlichkeit A(T) = 1 – e-W/T
Es sollte möglich sein, mit diesen Ansätzen und standardisierten Start-Konfigurationen (Quadrat, Rechteck, Rechteck mit Stufen, Achteck, Kreis usw. usf.) Entwicklungs-Studien zu treiben. Der Rechenaufwand steigt, wahrscheinlich sollte man den schon eingerichteten Einzel-Schritt-Modus bevorzugen.
Die ersten Ergebnisse sind ernüchternd, weil sich die Anisotropie ohne Oberflächendiffusion natürlich bald verliert, trotz unterschiedlicher Wahrscheinlichkeiten nach Arrhenius. Man müsste offenbar noch das Verhältnis der Ecken- und Seitennachbarn zugunsten der letzteren verändern können.
Plan für Programmablauf
Nach Umbau des Programms mit Einstellmöglichkeiten auf der Bedienoberfläche für die Temperaturen
– allgemeine Temperatur
– Faktoren für Bleiben, Werden und Diffusion (ohne internen Programm-Faktor!)
läuft es viel besser, auch wenn natürlich der sequentielle Charakter der Abfrage nicht völlig aufgehoben ist.
Neue Oberfläche mit vielen Parametern für die Thermodynamik
Man sieht, dass alle Erwartungen erfüllt werden:
– kleine Kristalle sind morphologisch stabil, große weniger
– der Einfluss der Temperatur ist für jeden Prozess-Teil (Anlagerung (Bleiben und Werden getrennt) und Diffusion) deutlich zu spüren
– Diffusionslänge und Taktverhältnis (indirekter Temperatureinfluss) machen sich bemerkbar
– Energieverteilung auf Seiten und Ecken ist deutlich zu spüren
Hier ist nun ein quasi unendlich mannigfaltiges Parameter-Feld bespielbar. Zum Beispiel Vergleich der Entwicklung beim Quadrat-Start gegen Kreis-Start mit allen thermodynamischen Größen.
Neue Darstellung als Tripel: Je Links vor dem Schritt, Mitte Anlagerung, rechts Umlagerung; linke Hälfte aus dem Kreis entwickelt, rechte aus dem Quadrat -> beide ähneln sich nach relativ wenigen Schritten in der dynamischen Form
(Die vier Parameter sind Anlagerungstemperatur, Bleiben- und Werden-Temperatur und OF-Diffusions-Temperatur (alle Temperaturen nur formale relative Temperaturen zu den jeweiligen Endwerten 100, 10, 20, 20).)
Setzt man die Temperatur nun nach oben, um die Diffusion zu erleichtern, erlebt man Abläufe, die an Oberflächenspannung erinnern: Strukturen ziehen sich zusammen. Hier ein Beispiel, wie sich eine Seifenblase nach dem Platzen durch Anlagerung und Diffusion verändert (Jeder Haupttakt Takt wieder als Doppeltakt Anlagerung und Diffusion dargestellt, deshalb Bil-Tripel).
Hier gehts zur Seifenblasen-Entwicklung (und bald auch zu anderen Filmchen)
Für stabile Morphologie also wichtig und „experimentell“ bestätigt:
Kommen zu viele Teilchen gleichzeitig an, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine neue Schicht durch „Keimbildung“ erstellen, größer als die des „suchenden“ Wanderns nach günstigen Einzelstellen. „Kleine Übersättigung“ (d.h. langsames Wachstum) ist also für morphologische Stabilität wichtig.
Antwort:
Ja, es ist Stabilität möglich, sogar „echte morphologische“ (also eine gegen Störungen!).
Nun kann der nächste Schritt geplant werden: Einfluss einer Umgebungs-Diffusion in drei Etappen:
– ohne Rückkopplung auf Umgebung (reine Abstandsfunktion vom Mittelpunkt)
– mit Rückkopplung auf Umgebung (Bilanzieren als Vorstufe der Diffusionsgleichung!)
– FEM der Umgebung (Maxi-Zellen-Bilanz im Austausch mit Kristall-OF)
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