Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


Stützstellen der numerischen Integration und deren Einfluss auf die Genauigkeit

1. Wie prüft man die Genauigkeit einer numerischen Integration?

2. Wie verbessert man die Genauigkeit der numerischen Integration?

Die zweite Frage ist sofort leicht zu beantworten: Je mehr Stützstellen (größere Anzahl, also kleinerer Abstand), desto kleiner der Fehler (der Einzelfehler verändert sich etwa quadratisch mit dem Abstand der Stützstellen, die Anzahl der Einzelfehler verändert sich linear mit der Anzahl der Stützstellen). Spannender ist aber die Frage, ob man den Abstand der Stützstellen funktionswertabhängig oder formabhängig gestaltet, um die Anzahl der Stützstellen zu veringern (Rechenzeit einsparen!)? Damit beschäftigen wir uns weiter unten.

Die erste Frage ist manchmal nicht leicht zu beantworten. Einfach ist es immer dann, wenn man für bestimmte Parameter die Lösung sicher kennt und also direkt vergleichen kann. Am besten benatwortet man sie mit hilfe der 2. Frage, indem man eben mit dem Stützstellen-Abstand so lange spielt, bis das Ergebnis von ihm unabhängig wird. Dabei erkennt man gleich zweierlei:

– erstens die Mindestzahl der Stützstellen (also ihren Maximalabstand) für eine gute Lösung

– zweitens die Art und Größe des entstehenden Fehlers im Vergleich zur richtigen Lösung

Ein einfaches Beispiel sei eine ansonsten kräftefreie Bewegung im Schwerefeld („Trajektorie“) einer zentralen Punktmasse. Wir erwarten eine Ellipse als geschlossene Bahnkurve. Wieviele Stützstellen im Zeitablauf (konstante Zeit-Intervalle) sind dafür erforderlich?

In einer EXCEL-Tabelle können wir die Parameter leicht ändern und uns die Werte einmal erspielen. Hier wurde der numerisch ungünstigste Fall der Rechteck-Integration gewählt, das heißt, für den kompletten zukünftigen Zeitabschnitt zwischen benachbarten Stützstellen wurde eine konstante Beschleunigung angesetzt, die sich aus den Anfangskoordinaten des betrachteten Intervalls ergibt.

Hier die entstehenden Trajektorien:


Die Gesamtzahl der Stützstellen von etwa 11.000 wurde beibehalten, aber der Zeittakt vergrößert, sodass sich die Anzahl der Umläufe der Trajektorie von 1 auf 100 erhöht hat. Die Ellipse geht dabei langsam in eine Rosette über.

Um den Vergleich anschaulich zu verbessern, muss man eine geringere Zahl von Umläufen wählen:


Hier sieht man besser, dass auch bei 110 Stützstellen pro „Runde“ noch relativ gute Ergebnisse entstehen, bei 75 aber schon eine starke Abweichung vorliegt. Deren grundsätzliche Unabhängigkeit von der Drehrichtung und vom Startpunkt wird im dritten Bild gezeigt, wo er statt in der Periapsis (links vom Brennpunkt) in der Apoapsis (rechts vom roten BP, Ort der viel schwereren Zentralmasse) liegt.

Frage: Kann man auch mit wenigen Stützstellen die Bahn-Berechnung verbessern?

Dazu muss man sich erst einmal klar machen, an welchen Stellen der Bahn der größte Fehler entstehen kann.

Annahme 1: Der Fehler entsteht bei großen Geschwindigkeiten, also in der Nähe des Brennpunkts. Dann müsste man also den Zeittakt in jedem Schritt an konstante Wege koppeln, also umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit pro Takt neu berechnen.

Annahme 2: Der Fehler entsteht bei großen Krümmungen der Bahn, also in beiden Apsiden. Dann müsste man den Zeittakt umgekehrt proportional zur Krümmung festlegen.

Ich habe einmal beides umgesetzt und in ein einziges Diagramm gebracht und die Diagramme dazu erstellt, die sowohl die Bahn-Geschwindigkeit als auch die Zeittaktdauer für alle drei Fälle (also incl. des „Normalfalls“ konstanter Taktlänge) anzeigen:

 

Vergleich der Stützstellen-Anpassung


Man erkennt, dass das Ergebnis ganz unerwartet immer schlechter wird. Hier spielt offenbar die Fehlerfortpflanzung eine gewaltige Rolle, wenn man mit je einer linearen Korrektur arbeitet (siehe oben: der Einzelfehler ist eine quadratische Funktion!). Die großen Fehler in den langsamen oder weniger gekrümmten Abschnitten überwiegen genenüber den Fehlerverringerungen in den „kritischen“.

Schlufo:

Man muss sich schon etwas genauer damit beschäftigen, denn sonst bleibt die „einfache“ Lösung die bessere, wie die „klassisch integrierte“ blaue Bahn zeigt, die (auch in drei Umläufen wie die anderen!) ordentlich geschlossen ist.

Wir müssen also irgendwann einmal genauer nachdenken! Bis dahin geben wir dem Rechner einfach mehr Zeit für eine große Zahl kleiner Stützstellenabstände bei klassischer Methode.

Vermutung: Wenn wir statt kurzer Geraden in jedem angepassten Zeittakt kurze Kreisbögen (aus v*dt = ds und w*dt = dalpha oder ds*kappa  = dalpha) setzen, dann sollte das ergebnis besser werden! (folgt…)

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