Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.4.1.1 Balkenbiegung

Frage:

Kann man die Verbiegung eines eindimensionalen elastischen Mediums („Stab“) in die zweite Dimension hinein berechnen, wenn man die Lastverteilung (Kraftwirkungen senkrecht zur Stabachse) und die Einspannung kennt?

Als Kind habe ich gern bei meinen Großeltern aus dem Fenster geguckt und dem schlechten Wetter am Waldrand zugesehen. Nachdem ich verstanden hatte, dass nicht die Bäume den Wind machen, wenn sie wackeln, sondern dass es umgedreht sein soll, habe ich mich gefragt, wieso jedes Zweiglein und jeder Zweig und jeder Ast und jeder Stamm anders wackelt, wenn sie doch alle denselben Wind haben.

(Die andere Frage war die nach den Regentropfen an der durchhängenden Telegrafenleitung am Weg vorm Haus.)

Manchmal wundert man sich, was Bäume so aushalten, wenn sie im Winde wackeln. Oder was aus dünnen Stäben gebaute Kräne so anheben können. Immer wieder erscheint also die Frage, wie verhält sich eigentlich ein langer Gegenstand, wenn er seitlich belastet wird?

Die Balkenbiegung kann man natürlich auch zeitlich betrachten und ihre Schwingung ortsbezogen berechnen. Hier soll dieser Abstecher in die Musik nicht gemacht werden, sondern  nur der ausgeschwungene Zustand betrachtet werden. Das ist immerhin auch schon mit einer vierfachen (!!) Integration verbunden, wenn man von der „Linienlast“ oder „Streckenlast“ (Last pro Länge, also in N/m anzugeben, nicht zu verwechseln mit einer Federkonstante, die die gleiche Einheit hat, aber auf Parallelität von Kraft und Länge beruht, während die hier senkrecht aufeinander stehen) ausgeht.

Da es selten vorkommt, dass man eine reale Linienlast analytisch angeben kann, wird auch die Integration nur selten analytisch gelingen. Das ist ein somit Musterbeispiel für die Numerische Integration!

Also setzt man sich hin und bereitet eine EXCEL-Tabelle vor, in die man die Linienlast irgendwie eingeben kann, um dann mit entsprechendem Aufwand zu rechnen (am besten in VBA).

Ich habe ehrgeizig natürlich an eine Summation von seitlich verschiebbaren Punktlasten und analytischen Streckenlasten gedacht und auch die Einspannungen oder Auflager wählbar angeordnet.

Aber trotzdem: Man muss einfach anfangen! Dann kann man solange steigern, bis man zu sich selber sagen kann:

„Mensch, das kann ich ja wirklich!“

Wie sind nun die Zusammenhänge?

Aus der Streckenlast ergibt sich durch zweimalige Integration das lokale Biegemoment (aus N/m wird Nm), das am Balkenende Null und am Auflager oder der Einspannung seine Maxima haben muss und außerdem frei von Sprüngen sein soll (das sind Randbedingungen für die Integrationskonstanten!).

Da das lokale Biegemoment nach dem Hookeschen Gesetz proportional der lokalen Krümmung sein muss, kann man durch entsprechend konstantenbehaftete (E-Modul und spezifische Biegesteifigkeit des Querschnitts = „Flächenträgheitsmoment“) weitere zwei Integrationen die Biegelinie erhalten, die wiederum den Auflagern und Einspannungen angepasst sein muss. Im einfachsten Fall macht man das für einen nur wenig durchgebogenen Balken, damit die Schwerkraft immer senkrecht zu ihm wirkt. (Grafisch darf man das dann überhöhen!)

Es ergeben sich „schöne“ Bilder:

Schwerer Balken (blau) unter Eigenlast und masseloser mit Mittellast (grün) verbogen. Die grüne Linie zwischen den beiden Auflagern sieht wie eine Kettenlinie aus.

Mehrere Fälle frei gewählter Streckenlasten für zwei neue Auflager

Zweifache Integration zu den Biegemomenten

Ergebnis nach dr dritten Integration: Balkenneigung

Die vierte Integration zeigt schließlich die Biegelinien für alle diese Fälle

Lasten für einseitig eingespannten Balken

Biegemomente für eingespannten Balken

Biegelinien für den eingespannten Balken


Der ästhetische Reiz solcher Biegelinien liegt offenbar darin, dass man sie als „natürlich“ und „instinktkonform“ empfindet. Zum Glück ist uns das aus dem Tierreich erhalten geblieben, denn sowohl Affen als auch komische Vögel (wie Vysiker) müssen mit schwingenden Ästen umgehen können!

Antwort:

Auch hier kann man eine Diskretisierung im Sinne einer numerischen Integration vornehmen oder eine analytische Lösung angeben, wenn man kann. (Ob dabei eine statische „Struktur“ entsteht, ist aber eine ganz andere Frage. Es ist eine Vorübung für dynamische Fälle.)

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