2.8.4.3 Beispiel: Lagrange-Punkte des Erde-Sonne-Systems
Mit welchem Aufwand kann man die Lagrange-Punkte selber berechnen?
In den Lagrange-Punkten 1 und 2 des Systems Sonne-Erde sind günstige Bedingungen für die konstante Beobachtung der Erde gegeben, im L1 zum Beispiel für die Schatten der Sonnenfinsternisse auf der Erde:
Sonnenfinsternis über der Antarktis am 04.12.2021 (Bild vom Deep Space Climate Observatory, stationiert im L1 (DSCOVR)), etwa 1,5 Mio km in Richtung Sonne von uns entfernt aufgenommen, also fast viermal so weit entfernt wie der Mond, dieser aber leider als „Vollmond“ (von der Sonde aus, denn bei uns war Neumond!) nicht mit auf dem Foto. (https://www.wetteronline.de/wetterticker/9eb33230-2f5b-48c2-8e5d-4565738fdfa3 vom 17.12.2021)
Wieso ist der Lagrange-Punkt genau dort?
Die Darstellung in einem mitrotierenden Potential wurde schon in 2.8.4 und 2.8.4.1 gezeigt. In lokalen Extrema und Sattelpunkten heben sich alle („statischen“) Kräfte auf (gilt also nicht für die Corioliskraft!).
Im rotierenden Bezugssystem kann man also unter der Benutzung der Scheinkraft „Zentrifugalkraft“ schreiben:
Fgesamt = F(Sonne) + F(Erde) + F(Zentrifugal) =! 0,
um den Radius als Abstand vom Schwerpunkt (der im System Sonne-Erde im Inneren der Sonne liegt) zu berechnen.
Die beiden ersten Kräfte sind gravitative und gehorchen dem Gravitationsgesetz, die dritte ist die Kraft der Radialbeschleunigung.
-G*MS*m/r² + G*ME*m*(r2-r)/|r2-r|³ + m*w²*r = 0
(MS ist die Sonnenmasse, ME die Erdmasse, die Probemasse m kürzt sich raus. Der Bruch im 2. Term soll unterscheiden lassen, ob man sich zwischen Sonne und Erde oder außerhalb befindet.)
Diese Gleichung ist nicht einfach zu lösen.
Mit dem Newton-Verfahren (gestartet neben den grafischen Nullstellen und relativ schnell konvergierend) kommt man in EXCEL schnell auf beide Lösungen (Kraftgleichung hier zur Vereinfachung mit r²/m von F zu „FF“ multipliziert):
r1; r2 = 148,11 ; 151,11 Mio km (Erdbahn mit 149,6 Mio km angesetzt, also je 1,5 Mio km „vor“ und „hinter“ der Erde, genauer 1,49 Mio km „vor“ und 1,51, Mio km „hinter“ der Erde.)
Die grafische Lösung (Nullstellen der Kraft-Kurve) sieht so aus:
Macht man das gleiche mit dem System Erde-Mond, kommt auf die Lösungen:
r1; r2 = 0,326 ; 0,448 Mio km (Mondbahn mit 0,384 Mio km angesetzt, also 58 Tkm vor und 64 Tkm hinter dem Mond)
Für L3 kann man eine ähnliche Rechnung aufbauen, für L4 und L5 sind in den vorangegangenen Abschnitten schon die Hinweise gegeben.
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