Joachim Adolphi

Struktur als Protokoll des Werdens


2.8.0 Unsichtbarer Punkt: Der Schwerpunkt

Eigentlich weiß ja jeder, was ein Schwerpunkt ist: Unterstützt man einen Körper unter seinem Schwerpunkt, kann man ihn balancieren, ist er „im Gleichgewicht“. Damit bezieht man diesen Begriff auf die Schwerkraft, wie man sie gewöhnt ist, nämlich als eine im Erfahrungsbereich des Menschen parallel (und senkrecht zur Erdoberfläche, also nach unten) wirkende Anziehungskraft der Erde.

Physikalisch heißt das, dass der Schwerpunkt jener Punkt eines (starren) Körpers ist, bezüglich dessen sich alle Schwerkraft-Drehmomente seiner Bestandteile aufheben. Ist also das Gesamt-Drehmoment Null, gibt es keine Winkelbeschleunigung und also kein Kippen und also Balance.

In der Dynamik gibt es aber auch eine andere Bedeutung des Schwerpunkts: Jede Drehachse einer freien Rotation geht durch den Schwerpunkt. Schon zwei verschiedene Rotationen reichen aus, um im Schnittpunkt ihrer Achsen den Schwerpunkt zu finden. Am einfachsten kann man das mit einem ebenen Stück Pappe überprüfen, das man unregelmäßig ausschneidet und mit einem dick gezeichneten geschätzten Schwerpunkt versieht, rotierend in die Luft wirft und beobachtet, ob der markierte Punkt ein solcher bleibt oder eine Kreisbahn vollführt. Im letzten Fall liegt der echte Schwerpunkt im Zentrum dieses Kreises. (Die freie Rotation ist in zwei Fällen stabil: Um die Achsen mit den beiden extremalen Trägheitsmomenten, bei einem Ziegelstein also um die Achsen parallel zur längsten und zur kürzesten Seite – studiere die Kreiselgesetze! Bei der Pappe lassen wir um die „kürzeste Seite“, die Dicke, rotieren.)

Dieses dynamische Verständnis des Schwerpunktes verleitet dazu, zu glauben, dass auch Schwerkraft-Trajektorien um Masse-Schwerpunkte erfolgen. Erschwerend kommt hinzu, dass das für Punktmassen auch tatsächlich der Fall ist. Aber sobald eine ausgedehnte Zentralmasse nicht kugelsymmetrisch und homogen ist, fallen Schwerpunkt und Schwerkraftzentrum (als gedachter Punkt gleicher Masse und gleicher Anziehungskraft bezüglich einer außerhalb befindlichen Probemasse) nicht mehr zusammen.

In der Folge bewegt sich dieses „virtuelle Schwerkraft-Zentrum“ abhängig von der Bewegung der Probemasse mit. Dazu später in den weiteren Abschnitten.

Hier wollen wir uns noch mit besonderen Symmetrie-Eigenschaften des Schwerpunkts beschäftigen.

Symmetrie ist immer dann interessant, wenn es um „geschickte“ Aufteilung eines Ganzen in „brauchbare Teile“ geht. Dafür gibt es zwei prädestinierte Anwendungsgebiete: Schwerpunkt-Bestimmung und Integrationsweg-Bestimmung.

Einfache Beispiele: Der Schwerpunkt eines ebenen Gebildes liegt im Kreuzungspunkt seiner Symmetrieachsen, sofern diese vorhanden sind. Da die Drehmomente aller Massen-Elemente proprtional ihrem Abstand zum Drehpunkt sind, heben sich symmetrisch gegenüberliegende Punkt-Wirkungen auf. Man kennt das von der Wippe von Kindesbeinen an.

In ein Rechteck können wir also entweder beide Diagonalen oder beide Mittelsenkrechten einzeichnen und haben im Kreuzungspunkt den Schwerpunkt, der auch der Umkreis-Mittelpunkt des Rechtecks ist.

In ein unsymmetrisches Dreieck zeichnen wir die Seitenhalbierenden ein. Bezüglich jeder Seitenhalbierenden sind alle zur entsprechenden Seite parallelen Streifen im Inneren des Dreiecks halbiert, es besteht also zumindest punktweise Symmetrie. Somit ist diese Seitenhalbierende als Ganze eine symmetrisch unterstützende Linie, die alle Schwerkräfte aufhebt. Fügt man eine zweite Seitenhalbierende hinzu, ergibt ihr Kreuzungspunkt den Schwerpunkt des Dreiecks. Interessanterweise können wir nun im Inneren des Dreickes konzentrische ähnliche Dreiecke weglassen, ohne die Lage des Schwerpunkts zu verändern. Das heißt im Extremfall, dass der Schwerpunkt des Dreieckrandes oder eines beliebigen „ähnlichen inneren Dreiecks“ mit dem der Dreieckfläche zusammenfällt. Das, was uns von der Kugel her unmittelbar einleuchtend erscheint, dass konzentrische Kugelschalen im Schwerpunkt identisch sind, trifft also modifiziert auch auf ein Dreieck  und ganz allgemein auf jeden beliebigen Körper zu.

Speziell gilt das auch für das Tetraeder. Hier geht es sogar noch weiter: Der Schwerpunkt aller seiner Kanten (jeweils Seitenhalbierende in Richtung des gegenüberliegenden Punktes) ist gleich dem seiner Flächen (Verbindungslinie von Flächenschwerpunkt zur gegenüberliegenden Ecke) und also gleich dem seines Körpers.

Daraus ergeben sich unter Verwendung der Vektorrechnung verblüffend einfache Beziehungen zwischen den Ortsvektoren der Tetraeder-Punkte A, B, C und D und dem der Scherpunkte E, F und G:

Strecke: E = 1/2* (A + B) = A + 1/2 * (B – A)

Dreieck: F = 1/3 * (A + B + C) = E + 1/3 * (C – E)

Tetraeder: G = 1/4 * (A + B + C + D) = F + 1/4 * (D – F)

(Das erinnert natürlich an unser Wissen über den Schwerpunkt einer Pyramide im Viertel der Höhe, was aus der Integralrechnung schnell folgt, da der Teilschicht-Beitrag quadratisch von der Höhe abhängt und für den Schwerpunkt mit der variablen Höhe zu multiplizieren ist und die dritte Potenz beim Integrieren die vierte wird, was den Faktor 1/4 hervorbringt. Beim Dreieck entstand so der Faktor 1/3 und bei der Strecke das auch  gefühlsmäßig richtige 1/2. Von der Strecke und der obigen Umformung zu einem Ortsvektor und einem „Kantenvektor“ aus kann man die Übertragung auf Dreieck und Tetraeder als Übungsaufgabe nachvollziehen…)

Die allgemein richtige Vorstellung, dass man den Schwerpunkt als gewichtetes arithmetisches Mittel formulieren kann, das (als Variationsaufgabe) Null werden muss, steckt hier ebenfalls dahinter.

Für den allgemeinen Fall eines dreiachsigen Ellipsoids ist schnell einzusehen, dass sein Schwerpunkt genauso wie beim Prisma im Mittelpunkt liegt. Alle anderen Körper müssen mühsam zusammengesetzt werden. Hier hilft dann nur Fleiß oder höhere Mathematik.

(Meine Studenten dürfen als Übung immer Kapitalien-Blechbuchstaben-Schwerpunkte durchs ganze Alphabet berechnen und sie so gestalten, dass sie auch dicht überm Schwerpunkt zu befestigen sind…)

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