2.8.6.3.1 Die Stern-Geschwindigkeit in Sternhaufen
Kann man aus den bisherigen Erkenntnissen auf ein Geschwindigkeits-Profil der Sterne in einem Haufen schließen?
Das Diagramm der Kräfte innerhalb und außerhalb eines homogenen Rotations-Ellipsoids kann der Ausgangspunkt für spezielle Betrachtungen sein:
Man sieht, dass im Inneren des (homogenen!) Ellipsoids ein linearer Kraftverlauf existiert (schematisch als „elastisch“ bezeichenbar), im Äußeren aber ein hyperbelartiges Abklingen.
Aus dem allgemeinen Zusammenhang von Zentripetal-Kraft und Kreisbahn-Umlaufgeschwindigkeit
Fz = m*v²/r -> v = Wurzel(Fz/m) * Wurzel(r)
erkennt man, dass für eine vergleichbare (also hypothetisch konstant gehaltene) Kraft Fz die Geschwindigkeit mit der Wurzel des Radius wächst, also eine Parallel-Verschiebung der Kraftfunktion zu größeren Radien, wie es beim sukzessiven Abflachen eines Rotations-Ellipsoids (konstanter Gesamtmasse!) geschieht, die Kraft bei gegebenem Zentrababstand und damit auch die Kreisbahn-Geschwindigkeit für diesen (hypothetisch festgehaltenen) Abstand wächst.
Für jegliche Abplattung (z.B. trägheitsbedingte eines elastischen und rotierenden Körpers) einer Kugelform ergeben sich also für äußere Umlaufbahnen in der Rotationsebene höhere Umlaufgeschwindigkeiten, als sie bei der Annahme einer Reduzierung der Gesetze auf den Schwerpunkt des Systems zu erwarten wären. (Wiederholung: Leider ist diese irrige Annahme weit verbreitet, dass in einem System, das komplexer als das von zwei Punkt-Massen oder von zwei homogenen Kugeln ist, immer noch gravitatives Zentrum und Schwerpunkt wie bei Kepler zusammenfallen.) Hierzu ist weder Dunkle Materie noch eine Modifizierte Newton-Dynamik („MOND“) erforderlich, sondern nur das Verständnis eines näher als der Schwerpunkt liegenden mitrotierenden virtuellen Schwerkraftzentrums („VSZ“) gleicher Gesamtmasse.
Trotzdem ist es hilfreich, einige grundsätzliche Überlegungen anzustellen.
1. Wie bewegen sich Sterne in einem angenommen „homogenen“ Kugelsternhaufen (also im Inneren)?
Im Inneren einer homogenen Kugel ergäben sich „elastische“ Ellipsen und im einfachsten Sonderfall Kreisbahnen mit nach außen proportional anwachsenden Bahngeschwindigkeiten:
Fz = K*r = m*v²/r -> v² = K/m*r² -> v = Wurzel(K/m) * r
(K: Konstante)
Auf den ersten Blick sieht das wie die Rotation eines „Kugel-Festkörpers“ aus. Dessen Sterne aber würde mit r² = x² + y² als Abstand zur angenommenen Rotationsachse zu beschreiben sein, wenn man v(r) abbilden wollte. Hier aber ist in der dreidimensionalen Kraftfunktion r² = x²+y²+z² angesetzt, d.h. JEDER einzelne Stern hat das Kugelzentrum als Zentrum seiner Kreis- oder Ellipsen-Bahn.
Das erfordert eine Zusatzüberlegung zur Stabilität des als „homogen“ angesetzten Sternhaufens: Ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit als Funktion des Radius auch bei elliptischen Trajektorien derart, dass die vorausgesetzte Homogenität erhalten bleibt?
Auf einer solchen elliptischen Bahn gilt wie in allen konservativen Kraft-Feldern (wir fassen vereinfacht die Wirkung aller anderen Sterne zu diesem Feld zusammen) grundsätzlich auch der Energiesatz
Wkin + Wpot = const -> v² + K2*r² = K3 -> v² = K3 – K2*r²
(„parabolischer Potentialtopf“ für radiusproportionale Kraft angesetzt!)
Wie man leicht erkennt, verhindert der konstante additive Term (die konstante Gesamtenergie) eine reine Proportionalität zwischen v und r, so dass alle weiteren Überlegungen zur radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Einzelsterns in Proportion zum Radius oder zur radiusabhängigen Kugelschalenoberfläche obsolet sind.
Im Umkehrschluss darf man behaupten, dass Sternhaufen mit Kugelform instabil wären, wenn sich ihre Sterne auf Ellipsen, die stark von Keisen abweichen (also eine hohe Exzentrizität aufweisen), bewegten, weil die postulierte „Homogenität“ ohne Kreisbahnen nicht zu erhalten ist. Aber auch bei reinen Kreisbahnen wird es immer wieder zu Annäherungen mit Energie- und Impuls-Austausch kommen, so dass einige Sterne das System verlassen werden, bis ein eventuell stabiler Rest (mit hinreichend geringer Wahrscheinlichkeit des „Herauskatapultierens“) übrig bleibt. (Ob es Effekte gibt, die sich aufheben und den Sternhaufen dennoch stabilisieren, müsste eine systematische numerische Analyse der Parameter ergeben.)
2. Wie bewegen sich einzelne (gegen den Haufen vernachlässigbar leichte) Sterne außerhalb des homogenen Kugelsternhaufens?
Für diese Sterne gelten die Keplerschen Gesetze als Näherung.
3. Wie bewegen sich Sterne innerhalb eines ellipsoidischen Sternhaufens?
Da auch außerhalb der Rotations-Ebene des Ellipsoids im Inneren eine lineare Kraftfunktion vorliegt, sind auch hier neben Kreisbahnen „elastische Ellipsen“ möglich (siehe 2.8.7):
Und auch hier gilt wieder, dass die Stabilität des Gebildes um so höher ist, je geringer die Exzentrizität aller Bahnen ist.
4. Wie bewegen sich einzelne (gegen den Haufen vernachlässigbar leichte) Sterne außerhalb des ellipsoidischen Sternhaufens?
Es gelten wieder die Rosetten, die durch die heuristische Annahme eines erhöhten negativen Exponenten des Kraftgesetzes (wie bei „MOND“) näherungsweise (wie bei einer Taylor-Entwicklung der radialen Kraftfunktion) beschrieben werden können. (siehe 2.8.1.0)
5. Wie bewegen sich Sterne in einer häufig auftretenden Galaxis-Form, die eine nach außen abflachende und sich verdünnende Scheibe mit aufgewölbtem Zentrum darstellt?
Dazu müssen detaillierte numerische Rechnungen angestellt werden. Man darf vermuten, dass eine Überlagerung der Wirkungen von Kugel und flachem Ellipsoid entsteht. Als Parameter sind radiusabhängige Dichten und Dicken der insgesamt rotierenden Galaxis anzusetzen. Schon bei ausschließlich reinen Kreisbahnen sollte ein interessanter Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Radius entstehen! (2.8.6.3.2)
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