2.8.3.4 Das „kuriose“ System Sonne-Erde-Mond
Durch einen Leser-Kommentar, der ein Missverständnis enthielt, kam ich auf eine interessante Fragestellung:
Warum „saugt“ die Sonne der Erde den Mond nicht weg, wo ihre Anziehungskraft auf den Mond doch größer ist als die der Erde? Ist das nicht kurios??
Wie immer ist es wohl am besten, wenn man schrittweise herangeht.
1. Es ist richtig, dass die Entfernung von der Erde, in der – Richtung Sonne gesehen – sich beide Schwerkräfte aufheben, dichter an der Erde ist als der Neumond. (Dafür addieren sich beide Kräfte für den Vollmond!)
Dieser Abstands-Wert von der Erde ergibt sich aus der Gleichsetzung beider gravitativer Beschleunigungen (man spricht hier elegant von Beschleunigungen und nicht von absoluten Schwere-Kräften, weil sich so die Masse des Probekörpers wegen der Gleichheit der schweren und trägen Masse wegkürzt):
G * mSonne / (Abstand(Sonne-Erde) – x)² = G * mErde/x²
Die Lösung ist x=259.000 km.
Der Mond hat aber einen mittleren Abstand von 383.000 km von der Erde. Wieso bleibt er dann bei uns, wenn er bei jedem Umlauf dichter an die Sonne kommt (in der Zeit um den Neumond herum) als die Lage des „abarischen“ (schwerefreien) Punktes?
2. Wir haben uns daran gewöhnt, beide Bewegungen für sich zu betrachten: Den Lauf der Erde um die Sonne und den Lauf des Mondes um die Erde. Die Sonne zwingt die Erde auf ihre Umlaufbahn und die Erde macht das mit dem Mond genauso. Wo soll das Problem liegen? Dass die Sonne natürlich auch den Mond anzieht, vernachlässigen wir einfach gewohnheitsmäßig. Darf man das?
3. Jetzt betrachten wir einmal die Mondbahn im heliozentrischen System, also mit der Sonne im Zentrum, im Koordinatenursprung. Wir machen es uns leicht und vereinfachen alles auf Kreise mit konstanten Relativgeschwindigkeiten, lassen die Sonne nicht wegen des Jupiters taumeln und die Erde nicht wegen des Mondes. Wir rechnen jetzt „rückwärts“ aus der Krümmung der Bahn die erforderliche Beschleunigung aus und vergleichen diese mit der Wirkung der Körper aufeinander.
Der Mond überholt die Erde außen als Vollmond und wird von ihr wiederum in der Neumondphase überholt. Die Geschwindigkeiten sind enorm: Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist etwa 29,8 km/s und die des Mondes relativ zur Erde 1 km/s, insgesamt also zwischen 28,8 km/s (innen) und 30,8 km/s (außen) schwankend. Der Abstand des Mondes von der Sonne (alles kreisförmig genähert!!) schwankt zwischen (149,598+0,383) und (149,598-0,383) Mio km. Das heißt, der Durchmesser der Mondbahn um die Erde beträgt etwa 1/2 Prozent des Erdbahnradius. Nach den Näherungsregeln für a<<1 könnne wir für den Beschleunigungsunterschied für den Mond (Neumond gegen Vollmond) aus der Sonnenkraft also von 1 % ausgehen (1/(1+a)² = 1-2a).
Die Zahlen für unser Näherungsbeispiel sind Sonnenbeschleunigung für Mond von 0,0058998 m/s² (Vollmond) und 0,0059605 m/s² (Neumond) sowie Erdbeschleunigung für Mond konstant von 0,0027173 m/s² (die Sonne wirkt gravitativ also mehr als doppelt so stark auf den Mond wie die Erde!).Die Sonnen beschleunigung auf die Erde liegt ungefähr beim Mittelwert des Mond-Wertes: 0,0059300 m/s². (Wegen der reziproken Radius-Quadrate kann es nicht das exakte arithmetische Mittel sein!!)
Die Erwartung von etwa 1 % Unterschied zwischen Neumond und Vollmond hat sich bestätigt! Außen (Vollmond) addieren sie sich zu 0,0086171 m/s² und innen (Neumond) subtrahieren sie sich zu 0,0032432 m/s². Das ist ein Verhältnis von etwa 2,66. Das beudeutet aber außerdem physikalisch, dass die Mondbahn im heliozentrischen System auch in der Neumondphase zur Sonne hin gekrümmt sein müsste, da beide Werte prositiv sind!!
Das lässt sich leicht geometrisch prüfen, indem man den Kreis der Erdbahn um die Sonne mit dem Kreis der Mondbahn um die Erde im gleichen Koordinatensystem überlagert. Da bei einem Erdumlauf nur reichlich 12 Mondumläfe stattfinden und die nur jeweils ein Viertelprozent beidseitig vom Erdbahnradius abweichen können, ist das sehr schwer grafisch darzustellen, weil die Strichstärke sehr gering gewählt werden muss:
Man kann im rechts dargestellten Ausschnitt (Monbahn blau, erdbahn rot gestrichelt) aber erahnen, dass im wesentlichen die Sonne die beiden Himmelskörper beeinflusst, die sich – wie nebenbei – auch noch untereinander etwas beeinflussen. (Da der Schwerpunkt des System Erde-Mond etwa 1700 km unter der Erdoberfläche liegt, wurde das Taumeln der Erde nicht berücksichtigt, weil es weit unter der möglichen Strichstärke des Diagramms läge…) Nimmt man die Original-Daten der EXCEL-Tabelle und berechnet die Krümmungen dieser Bahnen, erhält man ziemlich genau einen Wert von 2,50, der dem gravitativ errechnete Beschleunigungsverhältnis zwischen Innen und Außenkurve der Mondbahn sehr nahe kommt. (Berücksichtigt man ferner die etwa 6% Geschwindigkeitsunterschied in beiden Bahnabschnitten, wird der Unterschied zwischen 2,50 und 2,66 zwischen Geometrie und Physik verständlich!)
4. Erstes Fazit: Da Erde und Mond ständig fast gleichstark von der Sonne beschleunigt werden (die Erde im Mittel grob gerechnet wie der Mond), ist es durchaus erlaubt, als Näherung beide Systeme getrennt zu betrachten, so, wie wir es gewöhnt sind. Die Erde hat also nicht die Pflicht, den Mond mit um die Sonne zu reißen, das macht die Sonne selbst. Der Mond „schwingt“ also um die Erde, die ihrerseits um die Sonne „schwingt“.
5. Zweites Fazit: Man ahnt schon, dass, wenn man genauer rechnen will, die Symmetrie von „vor“ und „hinter“ der Erde gebrochen wird, dass der Jupiter einen Einfluss haben wird, dass die Abplattung der Erde einen Einfluss haben wird, dass die zyklischen Änderungen der Erdbahn (Jupiter plus andere Planeten und galaktische Einflüsse ebenfalls genauso wie die Kreisleffekte geneigter Ebenen) berücksichtigt werden müssten und so weiter und so fort.
Das zeigt uns nur, wie schwierig es im Mittelalter – als mit neuen Beobachtungsmethoden immer neue Zyklen entdeckt worden sind, deren Ursachen man aber nicht kannte – war, den Wünschen der Herrscher nach genauen Vorhersagen (zum Beispiel des mondabhängigen Osterfest-Termins oder von Finsternissen) nachkommen zu können.
Keplers Arbeiten waren mathematische Geniestreiche, Newtons Gedanken anschließend physikalische. Galilei hat die instrumentelle Komponente beigesteuert und die kinematischen Voruntersuchungen für Newtons Dynamik gemacht.
Also:
Die Sonne saugt den Mond genauso wie die Erde auf die gemeinsame Umlaufbahn um die Sonne. Das private Techtelmechtel zwischen Erde und Mond passiert weitgehend unabhängig davon. Der Mond bleibt uns also tatsächlich erhalten.
Daraus ergibt sich aber beim Weiterdenken die Frage, wo die Grenze liegt, ab welcher das Dreikörper-Problem Sonne-Erde-Mond nicht mehr in zwei Zweikörper-Probleme zerlegt werden darf, wie wir es intuitiv wegen der erfahrungsgemäßen Stabilität machen: Die Sonne und der Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems sind das erste Zweikörper-Problem, das sich nach Kepler bewegt, und Erde und Mond sind das zweite. Streng genommen darf man das nie, aber in Zeiträumen menschlichen Lebensalters ist es eben praktikabel, und die Physiker arbeiten gern mit Näherungen, wenn die damit übergangenen Abweichungen nicht selbst zum Untersuchungsobjekt gemacht worden sind.
Spielen wir also mir den Parametern, bis uns das System um die Ohren fliegt.
Zuerst bleiben wir, um die Effekte möglichst rein zu erleben, bei anfangs kreisförmigen Bahnen in der gleichen Ebene und variieren nur den Radius der Mondbahn. Da die Effekte an sich sicherlich maßstabsunabhängig sind, dürfen wir Massen, Abstände, Gravitationskonstante und Zeittakt so wählen, dass es leicht überschaubar bleibt. Die Übertragung in das „echte“ System Sonne-Erde-Mond sollte dann keine Schwierigkeit sein. Wir müssen aber davon ausgehen, dass der Zeittakt der numerischen Integration selbst eine Fehlerquelle ist und ihn deshalb ebenfalls variabel wählen, um seine Wirkung prüfen zu können.
Damit der abarische Punkt nicht zu dicht an der „Erde“ liegt und daraus Auflösungsprobleme für die Abbildung entstehen, muss das Masseverhältnis zwischen „Sonne“ und „Erde“ kleiner als in der Realität sein. Das daraus folgende Taumeln der Sonne muss berücksichtigt werden und hängt vom (variabal einstellbaren!) Masseverhältnis ab. Die Masse des Mondes soll weiterhin klein gegen die Erdmasse sein, um eine Taumeln der Erde vernachässigen zu können (Mond also vorläufig als Probemasse, die das Feld nicht wesentlich verändern kann). Neben den Masseverhältnissen kann man noch die Kreisbahnradien unabhängig einstellen, woraus sich die Umlaufzeiten abhängig ergeben. Der jeweils aus den Massen von Sonne und Erde und dem Erdbahnradius ermittelte „abarische“ Abstand zwischen Erde und Sonne kann dann mit dem Mondbahnradius verglichen werden. Es darf erwartet werden, dass nicht nur dieser Längenvergleich eine Rolle bei der Bahnstabilität (diese als Zeugnis der Entkoppelbarkeit beider Zwei-Körper-Probleme) spielen, sondern auch die erste Ableitung des Kraftfeldes (also die zweite des Potentials), wie das auch bei den Gezeiten-Wirkungen von Sonne un Mond auf die Erde der Fall ist. (Erinnerung: Trotz schwächerer Beschleunigung des Mondes ist dessen Unterschied in seinen Wirkungen auf der mondnahen und mondabgewandten Seite größer als der Unterschied der Sonnen-Wirkungen, weshab der Mond stärker auf die Gezeiten wirkt als die Sonne…)
Fangen wir also auf der „sicheren Seite“ an:
Hier ist das Masseverhältnis Sonne/Erde 100/1, der abarische Punkt („rab“) also 1/11 des Erdbahnradius von der Erde weg, die Mondbahn hat einen Radius von der Hälfte des rab. Die Berechnung beginnt rechts mit der inneren Position des Mondes. Ein Taumeln der Erdbahn ist wegen der geringen Masse des Mondes (1/10.000.000) nicht zu sehen, auch ein Taumeln des Sonne nicht. Für alle drei Körper sind die jeweils beiden Kraft-Paare exakt berechnet worden und die Bahn durch doppelte Zeitintegration in je 15.000 Schritten bestimmt worden. Wie beim „echten“ Erdmond ergibt sich kein einfach ganzrationales Verhältnis zwischen beiden Umlaufzeiten, die Mondbahn ist bezüglich der Sonne also nicht „geschlossen“. Wie empfindlich das vom Mondbahnradius abhängig ist, zeigt folgender Vergleich bei etwas größerem Mondbahnradius:
Beidesmal ist der Zeittakt so eingestellt, dass die 15.000 Schritte etwa anderthalb Erd-Umläufe ergeben.
Der verwendete Newton’sche Zusammenhang für die (jeweils zwei!) Beschleunigungs-Komponenten ist:
| ax1=G*(m2(x2-x1)/Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²)³+
m3(x3-x1)/Wurzel(x3-x1)²+(y3-y1)²)³) |
Vergrößert man den Mondbahnradius auf etwa 1 rab, so ergibt sich beim gewählten Masseverhältnis tatsächlich ein Absaugen des Mondes durch die Sonne:
Wieder war der Start der Berechnung rechts mit dem sonnennahen Punkt der Mondbahn. Diese schwenkt dann auf eine stabile Ellipse um die Sonne ein. Man kann das verhindern, indem man die Startgeschwindigkeit des Mondes etwas gegenüber der entkoppelten Zwei-Körper-Kreisbahngeschwindigkeit erhöht:
Man erkennt, dass das dazu führt, dass im Idealfall eine Ellipse um die Erde entsteht, sonst eine sich mehrfach ändernde Bahn, die entfernt an eine präzedierende Ellipse erinnert. Dazu sollte man das Ganze noch einmal in geozentrischer Darstellung betrachten (Koordinaten-Transformation der berechneten Werte):
Die Mondbahnen während eines reichlichen Erdumlaufs um die Sonne. Links verlässt der Mond die Erde.
Bei der achtfachen betrachteten Zeit (Zeittakt verlängert, nicht Stützstellen-Anzahl!) ergibt sich ein stabil aussehendes Bild bei der 1,088-fachen Umlaufgeschwindigkeit des Mondes im Vergleich zur Kreisbahn-Geschwindigkeit ohne Sonne bei gleichem Startabstand von der Erde:
Das „Einpendeln“ auf eine etwas engere und dafür stabile Mondbahn um die Erde im Sonnensystem ist deutlich zu erkennen.
Es ergibt sich daraus eine weitere Frage:
Wie kann man am besten den Stabilitätsbereich beschreiben, innerhalb dessen eine stabile Mondbahn existiert, innerhalb dessen also die Entkopplung des 3-Körper-Problems in 2 2-Körper-Probleme näherungsweise statthaft ist?
Vorher muss man sich aber fragen, wie man analytisch herangehen könnte. In den Gesetzen, die hier eine Rolle spielen, kommen Abstände und Massen sowie Geschwindigkeiten in unterschiedlicher Verknüpfung vor. Wie würde eine Reihenentwicklung für „kleine Abweichungen“ aussehen?
Offenbar ist folgende Abweichung am interessantesten:
Der Mond taucht bei seiner Bahn um die Erde selbst dann in Bereiche unterschiedlicher Sonnenkraft ein, wenn er kreisförmig um die Erde fliegt. Deshalb sind zwei Abstände also besonders wichtig: Je größer die Entfernung von der Sonne ist, desto flacher wird der Potentialtopf (1/r), desto flacher auch die Kraftfunktion (1/r²) und desto flacher ihre Ableitung (1/r³), also der Kraftunterschied zwischen Neumond- und Vollmond-Stellung und seine Nichtlinearität entlang der Mondbahn. Da außerdem die Entfernung des abarischen Punktes interessant erscheint, könnte er als zusätzliches Maß für die Bewertung des Mondbahn-Radiusses dienen. Ein 2-D-Stabilitäts-Diagramm würde also sowohl den Radius der Erdbahn als auch den der Mondbahn (diesen als Anteil an der Entfernung des abarischen Punktes von der Erde) als Achsen enthalten. Es darf vermutet werden, dass Stabilität bei großen Erdbahnradien und kleinen Mondbahnradien existiert.
Ableitung der Differenz der Sonnen-Beschleunigung bzgl.Mondbahndifferenz
gS : Beschleunigung der Sonne
mS : Masse der Sonne
rE: Radius der Erdbahn
rM: Radius der Mondbahn
G: Gravitationskonstante
allgemein: gS = -G*mS/r²
r -> (rE+rM) und (rE-rM)
dgS = gS(rE-rM) – gS(rE+rM)
dgS = -G*mS*(1/(rE-rM)² – 1/(rE+rM)²)
dgS = -G*mS*(1/(rE²-2rMrE+rM²) – 1/(rE²+2rMrE+rM²))
(rM² als klein vernachlässigber)
dgS = -G*mS*(1/(rE²-2rErM) – 1/(rE²+2rMrE))
für rM<<rE näherungsweise:
dgS = -G*mS/rE²*(1/(1-2rM/rE) – 1/(1+2rM/rE))
dgS = -G*mS/rE²*(1-2rM/rE-1-2rM/rE)
dgS = +G*mS*4rM/rE³
Wenn der Unterschied der Sonnenbeschleunigung also entlang der Mondbahn möglichst klein sein soll, so müssen der Mondbahnradius klein sein und der Erdbahnradius groß. Auf das Sonnensystem bezogen erklärt das näherungsweise die Verteilung der Monde auf die Planeten: Je weiter außen und je größer (schwerer) die Planeten sind, desto mehr stabile Monde blieben ihnen im Laufe der Sonnensystem-Geschichte. (Der Erdmond soll sich ja langsam entfernen…)
Nun muss man im EXCEL-Modell nur mit den Parametern spielen, um diese Hypothese zu bestätigen.
Ein anderer Ansatz wäre einfach eine Betrachtung der Neumondsituation:
Wollen wir für den Spezialfall der Kreisbahnen den Abstand des Mondes von der Erde errechnen, ab dem er von der Sonne „abgesaugt“ wird, müssen wir wieder im rotierenden System, also mit der Fliehkraft rechnen.
Und da sehen wir, dass wir für die chte Mondbewegung nicht mehr von einer Kreisbahn, sondern von der Überlagerung beider Kreisbahnen ausgehen müssen. Der Mond bewegt sich also im heliozentrischen System auf einer Bahn, die sich um die Erdbahn schlängelt, wobei er im echten Leben außen überholt, innen (zu Neumond-Zeiten) also langsamer als die Erde ist.
Der kritische Punkt in dieser Bewegung ist also der Neumond-Punkt, auf den wir uns deshalb beziehen werden.
Sein Abstand von der Sonne ist dann rE-rM, sein „wahre“ Geschwindigkeit vE-vM.
vE ist die Lreisbahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, vM die Kreisbahngeschwindigkeit des Mondes um die Erde. Noch den obigen Formeln sind das
v = vE-vM = √(G*mS/rE) – √(G*mE/rM)
Die daraus folgende Radialbeschleunigung ist ar = v²/(rE-rM).
Die dazugehörige Gravitationsbeschleunigung ist ag = G*(mS/(rE-rM)²-mE/rM².
Gleichsetzen beider Beschleunigungen für den kritischen Fall ergibt:
(1): G*(√(mS/rE) – √(mE/rM))²/ (rE-rM) = G*(mS/(rE-rM)²-mE/rM²)
(√(mS/rE) – √(mE/rM))² = mS/(rE-rM)-mE*(rE-rM)/rM²
mS/rE-2*√(mS*mE/(rE*rM)) +mE/rM = mS/(rE-rM)-mE*(rE-rM)/rM²
Gesucht ist der Ausdruck für die Variable rM (oder das Verhältnis rM/rE), wenn alles andere gegeben ist.
Multiplizieren mit rM:
mS*(rM/rE) – 2*√(mS*mE*rM/rE) + mE = mS*rM/(rE-rM)-mE*(rE-rM)/rM
umformen:
mS*(rM/rE) – 2*√(mS*mE)*√(rM/rE) + mE = mS*(rM/rE)/(1-rM/rE)-mE*(rE/rM-1)
mS*(rM/rE)*(1-1/(1-rM/rE)) – 2*√(mS*mE)*√(rM/rE) + mE*(2-re/rM) = 0
Hier geben wir auf und lösen die obige Ausgangs-Gleichung (1) iterativ und kommen bei dieser „verrückten“ Gleichung auf einen Wert für rM von
1,201 Mio km gegen 0,383 Mio km
des tatsächlichen Erdmondes. Es wäre also noch ganz schön „viel Platz“ für eine historisch weitere Entfernungsbewegung des Mondes von der Erde weg, bevor wir ihn ganz „verlieren“!
Fazit:
Das System Sonne-Erde-Mond ist komplexer, als es auf den ersten Schulwissen-Erinnerungs-Blick scheint, aber trotzdem mit Schulmathematik beschreib- und berechenbar:
1. Der abarische Punkt zwischen Sonne und Erde liegt 0,26 Mio km von der Erde entfernt.
2. Die Mondbahn liegt im Mittel 0,38 Mio km von der Erde entfernt. Der Mond bleibt aber bei der Erde, weil die Sonne auch die Zentrifugalkraft noch ausgleichen muss, was beim „Absaugen“ dann fehlt.
3. Der kritische Abstand, in welchem der um die Erde kreisende Neumond von der Sonne „abgesaugt“ werden kann, liegt 1,20 Mio km von der Erde entfernt. Da ist also noch PLatz…
4. Die beiden Lagrange-Punkte auf der Geraden Sonne-Erde liegen 1,49 Mio km „vor“ und 1,51 Mio km „hinter“ der Erde. Gut, die bewegen sich aber im rotierenden System bezüglich der Erde nicht, wie es der Mond ja tut.
5. Die Gezeitenwirkung des Mondes auf die Erde ist stärker (etwa doppelt so stark) als die der Sonne, obwohl die Gravitationswirkung viel schwächer ist.
Kurze Erinnerung:
Bei 1. wird vom nicht rotierenden System ausgegangen, die gravitative „Ruhe“-Situation ist also rein hypothetisch.
Bei 2. wird lediglich ein gemessener Fakt mitgeteilt.
Bei 3. wird näherungsweise von einer gravitativen Kreisbahnbewegung des Mondes um die Erde und von der Erde um die Sonne ausgegangen.
Bei 4. (siehe dort!) wird per definitionem von gleichen Winkelgeschwindigkeiten von Erde und Lagrange-Punkten ausgegangen, während die des Neumondes (alle bzgl. der Sonne) geringer ist.
Bei 5. kommt die zweite Ableitung des 3D-Gravitationspotentials zur Geltung, weil zwei Kraft-Differenzen bei gleicher Abstandsdifferenz (Erd-Durchmesser) verglichen werden. (Die Kraft – oder das „Beschleunigungspotential“ – selbst ist die erste Ableitung des Potentials! Der größere absolute Kraftwert der Sonne spielt hier also keine Rolle. Allerdings kommt auch noch verstärkend der Fliehkraft-Unterschied – in Mondrichtung – durch die wegen des Mondes um den gemeinsamen Schwerpunkt taumelnde Erde hinzu.)
Es ist also ein gutes Lehrstück, den Übergang vom 2-Körper-System zum 3-Körper-System zu studieren.
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