2.8.9 Asteroiden-Stabilität
Man entdeckt heutzutage Asteroiden, deren Größe und Stabilität nicht zueinander zu passen scheinen: Sie sollten eigentlich zerrissen werden, falls sie aus gravitativ zusammengehaltenem Schotter bestünden. Also sind sie fest! (Und: Wo kommen sie dann her, wenn sie nicht im Gürtel-Schotter zusammengefunden haben?)
Dazu will ich versuchen, erst einmal die Parameter zu ermitteln, die auf ihre mechanisch-gravitative Stabilität Einfluss haben. Dazu berechnen wir alle wirkenden Kräfte und setzen sie ins Verhältnis zur Zugfestigkeit eines angenommenen homogenen und isotropen Stoffes einer bestimmten Dichte.
Welche Kräfte sind das?
a) interne Schwerkraft des Asteroiden: hält ihn zusammen
b) externe Schwerkraft (z.B. durch Zentralkörper oder Nachbarn): zieht ihn durch deren Gradienten auseinander
c) eigene Rotation: zieht ihn durch Fliehkraft auseinender
d) Rotation um externes Zentrum: zieht ihn durch Fliehkraft-Gradienten auseinander
Die resultierende Kraft muss dann mit der Kraft, die sich aus Zugfestigkeit und Querschnittsfläche ergibt, verglichen werden.
Was immer geht: Diskretisierung und numerische Integration. Die Frage ist, ob man sich durch Symmetrie-Überlegung die Arbeit vereinfachen kann.
A) Einfachster Fall: Homogene Kugel
Berechnen wir zuerst die interne Gravitation. Wir wollen die Kraft berechnen, die senkrecht zu einer Äquatorebene wirkt. Dazu können wir alle senkrecht zu dieser Ebene wirkenden Kraftkomponenten addieren (Gegenkräfte NICHT addieren, die sind axiomatisch gleich groß; andere Komponenten als die senkrechten heben sich symmetrisch auf!).
Wir wissen aus früheren Überlegungen, dass innerhalb einer homogenen Kugel ein konstanter Kraftgradient F‘ entlang des Radius r existiert und die Element-Kraft dF im Zentrum Null ist und an der Oberfläche dF = R*F‘. Daraus folgt für die Kraft eines Volumenelements senkrecht zur Äquatorialebene mit Zenitwinkel theta und Mittelpunktabstand r:
dF = r*F’*cos(theta) * dV/V (V=Halbkugel-Volumen)
Diese Kraft ist für alle dV auf dem Kreisring (alle Azimutwinkel phi von 0 bis 2*pi) der Parameter r und theta gleich und kann also zusammengefasst werden zu
dF(Ring) = 2*pi*r*cos(theta) *dV(Ring)/V
Die Integration über r und theta ergibt für die Kraft der Halbkugel:
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