2.8.3.4.1 Artemis-II-Mission
Kann man selber grob nachrechnen, wie die Artemis-II-Mission starten muss, damit sie ohne viel Treibstoffbedarf vom Mond zur Erde zurückkehren kann?
1. Welche Startgeschwindigkeit benötigt man?
Die erste Frage ist die nach der Startgeschwindigkeit von der Erde. Wir wissen aus der Schule, dass die „1. kosmische Geschwindigkeit“ etwa 7,9 km/s beträgt. Mit dieser Geschwindigkeit kann man dicht über der Erde eine Kreisbahn durchfliegen. Bei höherer Lage der Bahn wird die Geschwindigkeit für die Kreisbahn geringer, für den Mond ist sie nur noch etwa 1 km/s. Auf der Kreisbahn sind Anziehungskraft und Fliehkraft gleich, also
M*G*m/r² = m*v²/r
und somit
v = (M*G/r)^(1/2) = 7,904 km/s
Für die Mondbahn (384400 km mittlerer Radius) ergeben sich dann etwa
1,018 km/s.
Welche kinetische Energie benötigt man, um genau bis zur Mondbahn aufzusteigen? Der Grenzfall wäre ein senkrechter Wurf mit Umkehrpunkt auf Höhe der Mondbahn. Dazu benötigen wir wieder die Gravitationskonstante, die Masse der Erde, den Radius der Erde, den Radius der Mondbahn.
dWpot = M*G*m/rE – M*G*m/rMB = m/2*v²
v = 11,085 km/s
(Wie zu erwarten war, liegt diese Geschwindigkeit nur knapp unter der „2. kosmischen Geschwindigkeit“ von 11,19 km/s, mit der man die Erd-Schwere komplett verlassen kann.)
Die tatsächliche Startgeschwindigkeit wird aber geringer sein, da man ja in das Potential des Mondes eintauchen will und dabei an Schwung gewinnt und ihn in etwa 7500 km Entfernung umrunden will. Der Effekt beträgt etwa 60 m/s, also starten wir mit
vStart = 11,025 km/s, bezogen auf die Erdoberfläche.
Starten wir von einer Bahn, die wesentlich höher liegt, brauchen wir entsprechend weniger kinetische Energie, zum Beispiel aus ISS-Höhe von etwa 400 km wären das dann nur
vStartISS = 10,686 km/s.
Da die ISS selbst schon mit etwa 7,7 km/s unterwegs ist, müssen wir nur noch etwa 3 km/s zulegen.
Bei der Artemis-II-Mission wurde nach einer elliptischen Umrundung (Daten sind mir nicht bekannt) noch einmal für etwa 6 min = 360 s das Triebwek gezündet, was etwa 8 m/s² mittlere Beschleunigung, also knapp „Erdbschleunigung“ ergeben hat.
2. Wo will man auf die Mondbahn treffen?
Diese Frage ist von großer Wichtigkeit, weil davon abhängt, wie genau man auf möglichst kurzem Wege zur Erde zurückgelenkt wird. Der Energiesatz ist hier nicht so einfach wie bei einem gravitativen Zweikörperproblem anzusetzen, weil wir vom Bezugssystem „Erde“ zum relativ dazu bewegten Bezugssystem „Mond“ wechseln müssen. Für dieses gilt der Energiesatz separat ebenfalls, aber die Geschwindigkeit als solche, die in der kinetischen Energie steckt, ist vom Bezugssystem abhängig.
Grobe Gegenüberstellung:
a) Kreuzen wir die Mondbahn zuerst hinter dem Mond, werden wir vom Mond „nach vorn geschleudert“ und gewinnen in Bezug auf das Erdsystem gewaltig an Energie.
rot: Mondbahn; blau: Artemis II; schwarz: gleiche Zeitpunkte; grün: Erde
b) Wir kreuzen die Mondbahn VOR dem Mond und werden von ihm gegen seine eigene Bewegung nach hinten umgelenkt.
Draufsicht (aus Norden): Der Mond (rote Bahn) beweht sich von unten nach oben. Die Sonne befindet sich (ohne weitere Auswirkung auf die Berechnung; geringe örtliche Änderungen im Sonnen-Potential wurden hier vernachlässigt) weit links oben außerhalb des Diagramms.
In diesem Fall ergibt sich bei gelungener Parameterwahl eine „Acht“, so wie es tatsächlich geschehen ist. (Auf die dritte Raumdimension haben wir hier bewusst verzichtet.) Trifft man nicht den richtigen Abstand zum Mond (d.h. das Parameter-Paar Geschwindigkeit und Abstand am Mond stimmen nicht) beim rückwärtigen Vorbeiflug, so ist die „Acht“ nicht so schmal oder hat nicht einmal eine Kreuzung und verliert damit ihren „Acht“-Charakter.
Die oben aufgenommenen Bahnen ergeben sich aus zeitlich numerisch doppelt integrierten Startbedingungen (Ort und Geschwindigkeit in x- und y-Komponente), wobei zu jedem Zeitintervall die Beschleunigung durch Erde und Mond in die jeweilige neue Bahnänderung umgerechnet worden ist.
Da hier keine Bremsmanöver während der Rückreise in Erdnähe angesetzt worden sind, treibt die „Orion“ dann wieder hinaus und die Besatzung geht einem langen Urlaub entgegen…
c) Kann man die „Acht“ heuristisch verstehen?
Ja, denn sie ist eine Überlagerung der gravitativen Kepler-Hyperbel, die im Mondsystem (mit positiver Gesamt-Energie!) beschrieben wird, mit einer seitlichen Bewegung des Mondsystems relativ zum Erdsystem, in welchem ja die Grafik dargestellt ist.
(Diese Überlagerung kann jeder einmal selbst in EXCEL aus beiden Bewegungen einzeln herstellen – gute Übung!)
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