F2.1 Physisches und mathematisches Pendel
In der Schule wird oft nur das mathematische Pendel abgehandelt, weil man dort so gut die Sinusfunktion anwendern kann. Auf welchen Vereinbarungen beruht seine Einfachheit?
Erstens: Die Pendelmasse soll eine Punktmasse sein. Vorteile: Kein eigenes Trägheitsmoment, keine eigene Abstandsverteilung vom Drehpunkt. Die Schwerkraft wirkt also nur auf einen einzigen Punkt.
Zweitens: Die Auslenkung von der Ruhelage soll klein sein gegen die Pendellänge. Vorteil: Linearer Ansatz für die rücktreibende Kraft (einzige Kraftquelle ist die Schwerkraft FS, und zwar ledigleich ihre Tangentialkomponente FST, da die Radialkomponente FSR auf die Drehachse zeigt und kein somit Drehmoment ausüben kann) als Näherung möglich:
Man sieht leicht, dass
FST = FS * sin(alpha)
gilt. Nun kommt der große Trick, dass man für kleine Winkel gemäß unserer Reihenentwicklung des Sinus
(siehe Abschnitt Pi: Universelle Naturkonstante aus der Schwingungsgleichung für Anfänger)
x(t) = t – 1/6*t^3 + 1/120*t^5 – 1/5040*t^7 + … + i^2n*1/((2n+1)!)*t^(2n+1) + … = sin(t)
Für t<<1 kann man schon das zweite Glied der Entwicklung (ein Sechstel der dritte Potenz von t) vernachlässigen und also schreiben
sin(alpha) = alpha
Damit hat man für das nun durch Näherung erzeugte „mathematische“ Pendel die reine Schwingungsgleichung parat, weil die Beschleunigung der Masse (selbst proportional zur Kraft) der örtlichen Abweichung der Masse vom Ruhepunkt (auch hier nähern wir wieder aus dem Winkel den horizontalen Abstand über die Gleichsetzung von sin und seinem Argument (in Radiant gemessen!) ist. Die Gleichung ist dann identisch für die Auslenkung als Abstand vom Ruhepunkt oder für den Winkel der Auslenkung selbst:
d²alpha/dt² = – K * alpha
x“ = d²x/dt² = -K * x
K = g/l ergibt sich hier aus dem Verhältnis der Erdbeschleunigung und der Länge des Pendels, die Masse kürzt sich heraus.
Die Lösung ist dann eine Schwingung, die man über die Sinusfunktion (oder Kosinusfunktion, je nach Startwinkel) ausdrücken kann:
alpha(t) = alphamax*sin(Wurzel(K)*t + alpha(0))
x(t) = xmax*sin(Wurzel(K)*t + x(0))
Nun kommen wir zum physischen Pendel, für welches wir die Beschränkungen, die zum mathematischen geführt haben, aufheben wollen. Das machen wir in zwei Schritten:
1. Schritt: Aufheben des Beschränkens auf kleine Winkel.
Wir lassen nun ein Pendel zu, das starr sein soll (am Ende einer drehbar gelagerten massenlosen Stange ist eine Punktmasse befestigt) und von der Ruhelage in jeder Richtung 180° ausgelnkt werden kann.
Die Lösung der entstehenden Differentialgleichung (auf der rechten Seite steht dann der Sinus anstelle der linearen Funktion!) können wir nur nur mit Mitteln der höheren Mathematik (Jacobische elliptische Funktionen) angeben, auf die wir hier verzichten wollen, denn es geht nur um die die Anschaulichkeit der veränderten Situation.
Der „gesunde Menschenverstand“ (das aus der Erfahrung gewonnene Gefühl) sagt uns, dass die Schwingungsdauer größer werden muss, je höher das Pendel ausschlägt, denn dieses könnte im oberen Umkehrpunkt ja sogar stehen bleiben!
Da modellieren wir nun unseren ersten Pendel-Roboter, der in Wirklichkeit noch kein Roboter ist, weil wir ihn ja anschubsen können, und messen im Modell sein Bewegungsverhalten, zum Beispiel seine Schwingzeit in Abhängigkeit von der Amplitude (maximale Auslenkung).
(Für spätere Überlegungen bauen wir den Roboter schon generell aus zwei variablen, radial angeordneten Massen auf, deren innere wir vorläufig noch Null setzen.)
Das Ergebnis ist (wir nutzen die numerische Integration, siehe dort, indem wir für jeden Augenblick die Wirkung der Schwerkraft (Beschleunigung!) berechnen und daraus dei Geschwindigkeit und den Ort im nächsten Augenblick und alles wieder von vorn usw. usf.) tatsächlich wie erwartet:
Zuerst die zeitabhängige Darstellung der Geschwindigkeit:
Kleine Auslenkung bis 0,2
große Auslenkung bis 1,5
sehr große Auslenkung bis kurz vor Überschlag
Zur Probe für die parallele räumliche Bewegung der beiden Massen auf ihrem Weg hier die Ansichten mit zeitlich getakteten gestrichelten Verbindungslinien, die tatsächlich alle radial verlaufen:
Unsere Vermutung, dass die Schwingzeiten größer werden, ist durch Ablesen der Periodendauer auf der Zeitachse hervorragend bestätigt.
2. Schritt: Aufhaben der Beschränkung auf eine einzige Punktmasse
Der einfachste Fall wäre das Hinzufügen einer zweiten Punktmasse und die Untersuchung der Abhängigkeiten sowohl von ihren Lagen als auch von ihren Massewerten.
Wir müssen uns und unseren „gesunden Menschenverstand“ fragen, ob das neue Erkenntnisse bringen kann, wenn wir einmal einfach die (als starr angenommene!) Masseverteilung durch ihren Schwerpunkt ersetzen und dort die Schwerkraft angreifen lassen.
Eine zweite Überlegung lehrt uns, dass wir nicht leichtsinnig sein dürfen: Kurze Punktmasse-Pendel mit kleinen Ausschlägen schwingen schneller als lange, und die Masse kommt in den Gleichungen ja gar nicht vor, weil sich schwere und träge Masse wegkürzen. Wenn wir eine große Masse aber nur leicht unsymmetrisch um die Aufhängung verteilen, so dass ihr Schwerpunkt dicht daneben liegt, sollte die Schwingzeit doch eine andere sein als die einer einzigen Punktmasse im gleichen Abstand, oder??
Wir prüfen das einmal theoretisch, indem wir keine geometrisch lineare Vereinfachung durch Näherung erzeugen, sondern alles ins rotierende Bezugssystem legen. Dann gelten die entsprechenden Gleichungen für Winkel statt Länge, für Drehmoment statt Kraft, für Trägheitsmoment statt Masse, für Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung statt Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Die Schwerkraft ist die alte und darf im Schwerpunkt angreifen.
Die Doppel-Punktmasse stellt aber jetzt kein Doppelpendel dar, weil die Zusatzbedingung lautet, dass beide Massen starr radial angeordnet sind. Ihr Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse ergibt sich aus der Summe der einzelnen Trägheitmomente die jeweils m1*r1² und m2*r2² sind. Der Schwerpunkt liegt längs des masselos gedachten Stabes (mit einem Seil wäre keine starre Verbindung möglich!) und erzeugt ein Drehmoment M der Größe
M = (m1+m2)*
Kommentar abgeben