F1: Der Sprung von einer bewegten Schaukel
Kinderspielplätze sind auch für Erwachsene spannend, wenn sie in der Lage sind, das neugierige Verhalten der Kinder als Forscherdrang zu erkennen.
Beispiel: Kinder schaukeln nicht einfach, sondern springen von der Schaukel ab und probieren, wie sie am weitesten entfernt landen können.
Sie entwickeln dabei ein Gefühl für den „richtigen Moment“ des Absprungs.
Können wir diesen „richtigen Moment“ mathematisch fassen?
Zuerst müssen wir uns fragen, welchen gegensätzlichen Tendenzen überhaupt zur Möglichkeit der Existenz eines „Optimums“ führen:
– springe ich zu zeitig ab, wird die Flugkurve flach und also wahrscheinlich nicht weit
– springe ich zu spät ab, wird die Flugkurve zwar hoch, aber auch so steil, dass ich nicht weit kommen werde
Wo also liegt das Optimum? Und: Mit welchem Parameter will ich es beschreiben, mit der Höhe über dem Schaukeltiefpunkt oder dem Winkel des Seils/der Stange der Schaukel? (Die gleiche Frage stellt sich, wenn man an einem Steilufer an einem Seil – befestigt an einem Uferbaum – übers Wasser schwingen will und nach dem Loslassen zur „Arschbombe“ hinausfliegen will…)
Wir ahnen, dass einige Parameter in das Ergebnis eingehen werden:
a) Geometrie des Schaukel
– Länge des Seils/der Stange, woran das Brett der Schaukel befestigt ist
– Höhe des Bretts über dem Grund in Ruhelage
b) Bewegungszustand des Schaukelnden
– Maximale Höhe/maximaler Winkel der Schaukelbewegung vor dem Absprung
Wir vernachlässigen die Masse des Bretts, so dass ein Abdrücken von diesem keine Änderung im Bewegungsablauf bringt, und wir legen genähert den Schwerpunkt des Schaukelnden in den Ort des Bretts und lassen ihn so geschickt landen, dass die Füße in der Verlängerung der Flugbahn des Schwerpunktes auftreffen. Dann können wir von der Bewegung einer Punktmasse ausgehen, die erst eine Kreisbewegung mit dem Radius der Seillänge beschreibt und dann eine Flugparabel (ohne Luftwiderstand).
Aus der Physik benötigen wir nun die Zusammenhänge des Energiesatzes bezüglich kinetischer und potentieller mechanischer Energie und das Fallgesetz. Außerdem müssen wir Vektoren in ihre Komponenten zerlegen können (Pythagoras oder Winkelfunktionen). Klingt einfach, oder?
Also los:
m: Masse (Schaukelnde als Punktmasse) in kg
l: Länge der Stange/des Seils in m
v: momentane Geschwindigkeit in m/s
g: Fallbeschleunigung in m/s²
h, hmax: momentane Höhe und maximale Höhe der Punktmasse über dem Tiefpunkt in m
ht: Tiefpunkthöhe über Grund in m
a, amax: Winkel der Schaukel zur Senkrechten in °
1. Die Kreisbahngeschwindigkeit der Punktmasse ergibt sich aus der kinetischen Energie im jeweiligen Kreisbahnpunkt, die sich ihrerseits aus der gewonnenen potentiellen Energie im Vergleich mit der maximalen potentiellen Energie im Umkehrpunkt der Schaukel (denn dort ist die Geschwindigkeit Null).
v²*m/2 = m*g*(hmax-h), also v = Wurzel(2g*(hmax-h))
Da man den Winkel der Schaukel besser wahrnehmen kann als die Höhe des Bretts, rechnen wir das um:
v = Wurzel(2g*l*((1-cos (amax))-(1-cos(a)))) = Wurzel(2g*l*(cos(a)-cos(amax)))
Die Komponenten vx (waagerecht) und vz (senkrecht) sind dann
vx = v*cos(a)
vz = v*sin(a)
2. Die Sprungweite s (als Abstand zwischen dem Landepunkt und dem Fußpunkt der Schaukel) ergibt sich dann aus drei Teilen:
– s1: waagerechter Abstand des Absprungpunktes vom Fußpunkt
– s2: waggerechte Komponente der aufsteigenden Flugbahn
– s3: waagerechte Komponente der abfallenden Flugbahn
s1 = l*sin(a)
s2 = vx * t2 mit t2 = vz/g und vz= v*sin(a)
s3 = vx * t3 mit t3 = Wurzel(2*(ht+h1+hs)/g) und h1 = l*(1-cos(a)) und hs=g*t2²/2
mit t2: Flugzeit für s2 und t3: Flugzeit für s3, beide in s
mit h1: Schaukelhöhe über Tiefpunkt und hs: maximale Steighöhe nach Absprung, beide in m
Setzt man alle Größen der reihe nach ein, ergibt sich für den Abstand des Landepunktes vom Schaukelfußpunkt eine Bandwurmgleichung:
s = l*sin(a) + 2l*(cos(a)-cos(amax))*sin(a)*cos(a) +
+ Wurzel((2l/g)*(cos(a)-cos(amax))*sin²(a)+1-cos(a)+ht/l))
Jetzt könnte man nach den Regeln der Extremwertberechnung die erste Ableitung ds/da bilden und Null setzen, um den Winkel a für den optimalen Absprung zu bestimmen und dann damit s zu berechnen.
Dazu hat man wenig Lust, da der Ausdruck durch die Produkte der Winkelfunktionen und die Kettenregel der Wurzel noch länger werden muss…
Macht man es numerisch, kann man außerdem noch die geometrischen und „toberischen“ Parameter variieren und dieses multikausale Geschehen in diversen Varianten grafisch darstellen, zum Beispiel so:
Natürlich ist klar, dass man für Schaukelwinkel über 90° eine Stangenschaukel braucht, weil ein Seil schließlich keine Stützkräfte übertragen kann. Auch die Knickung des Seils beim Schwungholen haben wir vernachlässigt.
Die 90°-Schwung-Kurve für die Weite bei variablem Absprungwinkel zeigt, dass man bei genau 90° nur senkrecht runterfällt und also bei der Seillänge (hier 3 m) landet. Die Weite beim Absprungwinkel 0° hängt natürlich auch außerdem von der Bretthöhe über Grund ab, hier 60 cm.
Schon die Parameter Seillänge, Bretthöhe über Grund und maximaler Schaukelwinkel lassen sehr viele unterschiedliche Darstellungen für die Sprungweite als Funktin des variablen Absprungwinkels zu. Nähme man nun noch Luftwiderstand, Schwerpunktlage der Schaukelnden und eventuellen zusätzlich Zug am Seil beim Absprung hinzu, ergäbe des eine Diplomarbeit zur Vorbereitung der Sportler einer neuen olympischen Disziplin „Schaukelweitsprung“.
Tja, das können glücklich auf einer Schaukel spielende Kinder bei einem Rentner auslösen…
Kommentar abgeben