F2.0 Impuls und Energie im mechanischen System
Wir müssen für die Beschreibung vieler mechanischer Prozesse sehr sicher im Ungang mit Impuls und Energie sein, um uns nicht „zu verlaufen“. Deshalb hier ein paar didaktisch einfache Beispiele zur Erläuterung der beim Nachdenken zu umgehenden Fallen.
1. Lineare Bewegung von zwei Massen
Zwei Massen m1 und m2 bewegen sich zusammen mit der Geschwindigkeit v12. Dann haben sie den Impuls
po=(m1+m2)*vo
und die kinetische Energie
Wkin=1/2*(m1+m2)*vo²
Ohne äußere Kräfte verändern sich weder Impuls noch Energie.
Stoßen sich beide Massen voneinander durch einen inneren Prozess (wird später erläutert) ab, so bleibt der Gesamtimpuls erhalten, indem die beiden Massen einen gleichgroßen, aber entgegegesetzten „inneren“ Impuls pi1 und pi2 (relativ zum Schwerpunkt gerechnet!) erhalten:
pi1 = – pi2, deshalb p = po + pi1 + pi2 = po
pi1 = m1*vi1; pi2 = m2*vi2; vi1/vi2 = -m2/m1
Die inneren Geschwindigkeiten vi sind also umgekehrt proportional zu den Massen und entgegengesetzt gerichtet:
vi1 = -m2*vi2/m1
Nun vergleichen wir die Energien im äußeren System:
Vor der Änderung:
Wkin= (m1+m2)/2*vo²
Nach der Änderung:
Wkin1 = m1/2*(vo+vi1)²; Wkin2 = m2/2*(vo+vi2)²
Eingesetzt und zusammengefasst zur Gesamtenergie ergibt das:
Wkin = m1/2*(vo²+2vo*vi1+vi1²)+m2/2*(vo²+2vo*vi2+vi2²)
Wkin = (m1+m2)/2*vo² + vo*(m1*vi1+m2*vi2) + m1/2*vi1²+m2/2*vi2²
Die Klammer im zweiten Term ist Null, weil beide inneren Impulse sich aufheben. Die gesamte kinetische Energie setzt sich also aus der des Schwerpunkts und den beiden „inneren“ kinetischen Enegien zusammen!
Das haben wir ja als Kenner des Energiesatzes nicht anders erwartet.
Können wir die Ursache des Energiezuwachses genauer fassen?
Wir erinnern uns an die Gleichsetzung von Impulsänderung und Kraftstoß:
m*dv = F*dt (Umstellung von Newtons Gesetz m*dv/dt = F)
Nehmen wir als Energiequelle eine elastische Feder an, so liefert diese bis zur völligen Entspannung die Energie k/2*x² (k ist die Federkonstante, dx die Verformung), oder über die Feder-Kraft Ff ausgedrückt:
Wpot = Integral(F(x)dx) mit F(x) = k*x
Wer es ganz kompliziert haben möchte, kann nun den Kraftstoß berechnen, der von der Feder ausgeht, wenn er x(t) bestimmt und dann p = Integral(F(x(t))dt) ausrechnet. Mit „Kraft gleich Gegenkraft“ hat er dann die Bewegung der Massen m1 und m2 im Griff. (Brauchen wir hier aber nicht!)
ZAHLENBEISPIEL für die Zahlenfreaks unter Euch:
Werteset 1: m1=10 kg, m2=1 kg, vo=10 m/s
Gesamtimpuls = 110 kgm/s
Gesamtenergie = 550 Nm
vi1 = -0,5 m/s
vi2 = 5 m/s (wegen der Gleichverteilung des Impulses!)
Gesamtimpuls = 110 kgm/s – 5 kgm/s + 5 kgm/s = 110 kgm/s
Gesamtenergie = 550 Nm + 1,25 Nm + 12,5 Nm = 563,75 Nm
Probe: Gesamtenergie aus 2 Teil-Energien: Wges = Wkin1 + Wkin2
5kg*(9,5m/s)²+0,5kg*(15m/s)²=(451,25+112,5)Nm = 563,75 Nm
Werteset 2: m1=10 kg, m2=1 kg, vo=20 m/s
Gesamtimpuls = 220 kgm/s
Gesamtenergie = 2200 Nm
vi1 = – 0,5 m/s
vi2 = + 5 m/s (wegen der Gleichverteilung des Impulses!)
Gesamtimpuls = 220 kgm/s – 5 kgm/s + 5 kgm/s = 220 kgm/s
Gesamtenergie = 2200 Nm + 1,25 Nm + 12,5 Nm = 2213,75 Nm
Probe: Gesamtenergie aus 2 Teil-Energien: Wges = Wkin1 + Wkin2
5kg*(19,5m/s)²+0,5kg*(25m/s)²=(1901,25+312,5)Nm = 2213,75 Nm
Wir halten als 1. FAZIT fest:
Bei Vorhandensein einer inneren Energiequelle kann ein mechanisches System ohne Gesamt-Impuls-Änderung seine Gesamt-Energie durch innere mechanische Energie verändern.
Wir halten als 2. FAZIT fest:
Die innere Energieverteilung auf die beiden Partner, die den gleichen, aber entgegengesetzten inneren Impuls reltiv zum Schwerpunkt haben, ist sehr masseabhängig: Die große Masse erhält wenig, die kleine viel Energie. Ist die kleine gegen die große vernachlässigbar, erhält sie alles. Das klingt paradox, folgt aber einfach durch Einsetzen:
m1/2*vi1²+m2/2*vi2² = Wkini1 + Wkini2 = Wkini
Verhältnis der Energien: Wkini1/Wkini2 = m1/m2*vi1²/vi2²
Impulse: m1*vi1 = -m2*vi2 -> v2i = -m1/m2*v1i
Wkini1/Wkini2 = m1/m2*v1i²/(-m1/m2*v1i)² = m2/m1
Übrigens: Genau dieses Verhältnis haben wir oben im Zahlenbeispiel schon erlebt.
2. Veränderung der Versuchsbedingung bei einer einzigen Masse
Wir rollen – reibungslos gedacht – mit dem Fahrrad (zusammen Masse m) aus dem Stand (v1a=0) einen kleinen Berg hinab. Unten haben wir die Geschwindigkeit v1e.
Nun rollen wir mit einer Anfangsgeschwindigkeit v2a >0 oben los. Wie große ist nun die Geschwindigkeit v2e unten?
Die „gefühlsmäßige“
Vermutung: v2e = v1e + v2a
sollte überprüft werden. Der Energiegewinn während der Fahrt kommt aus der potentiellen Energie der Bergabfahrt, die in beiden Fällen gleich ist. Im zweiten Fall liefern wir eine Anfangsenergie mit. Diese sollten sich also laut Energiesatz addieren.
W2e = W1e + W2a = m/2*v2e² = m/2*(v1e²+v2a²)
v2e² = v1e²+v2a²
Wer sich an den Satz des Pythagoras erinnert, weiß, dass es sich hier um die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks handelt. Die Hypothenuse ist aber immer kürzer als die Summe der Katheten. Unsere Hypothes der Addition der Geschwindigkeiten ist als FALSCH!
Woran liegt das?
Je schneller wir den Start vom Berg anfahren, desto kürzere Zeit wirkt die Hangabtriebskraft bei der Abfahrt, desto geringer ist also der Kraftstoß oder Impulszuwachs und also der Geschwindigkeitszuwachs.
(Im Umkehrschluss lohnt es sich also, eine vor einem liegende kleine Bergkuppe – „Rampe“ – schnell anzuradeln, um flott über die Kuppe zu kommen. Ist der energetische Aufwand für die potentielle Energie wegen der Höhe des Berges aber ungünstig hoch, sollte man ruhig anfahren, weil der „Schwung“ sowieso nicht reicht und man vorzeitig „blau“ werden würde…)
Fazit: Auch hier führen die getrennten Betrachtungen von Energie und Impuls zu neuen Erkenntnissen!
3. Rotierende Bewegung einer Masse
(siehe F2.2!)
Kommentar abgeben