F2.2 Drehbewegung mit zusätzlich radial beschleunigter Masse
Wir wollen prüfen, welche der möglichen Rechenwege effektiver zum Ergebnis führt, wenn auf einem waagerecht rotierenden masselosen Stab eine programmierbar ortsveränderliche Masse sitzt.
Dazu nehmen wir Anfangsbedingungen an und fügen eine radiale Kraft hinzu, die in der Lage ist, die Masse auf dem Stab zu beschleunigen. Da die Kraft in Richtung des Drehpunktes wirkt, geht von ihr selber nicht unmittelbar ein Drehmoment aus. Wir „fühlen“ aber, dass sich die Drehzahl ändern muss! Wie passiert das physikalisch und mathematisch korrekt, wenn man es in eine numerische Integration einbinden will?
Die Radial-Kraft Fr beschleuigt die Masse m in der Zeit dt um ein radiales dvr
(1a) dvr = (Fr(t)/m) * dt
Dadurch ändert sich der Anfangsradius r0 der Rotationsbewegung um dr
(1b) dr = r-r0 = (vr+(vr+dvr))/2*dt
Ist der Rotationsvorgang frei gelagert, so bleibt der Drehimpuls L erhalten, der sich entweder über die Umfangs- (Tangential-)geschwindigkeit vt oder über den Radius r und die Winkelgeschwindigkeit w ausdrücken lässt:
(2) L = m*vt = m*w*r = const.
Wird r kleiner, muss also w größer werden.
Haben wir eine einzige Punktmasse, so muss keine der physikalischen und geometrischen Größen aufgeteilt werden und die obige Gleichung (2) zeigt den kompletten Zusammenhang. Der zeitliche Ablauf kann dann über die differentiellen Zusammenhänge (1a) und (1b) dargestellt werden, wenn Fr(t) bekannt ist. Noch spannender wird es, wenn Fr(r) gegeben ist, zum Beispiel durch einen linearen Zusammenhang wie beim Einbau einer masselosen Schraubenfeder (entspräche einem linear vom Radius abhängenden Kraftverlauf oder einem parabolischen Potentialtopf) zwischen Drehpunkt und kreisender Masse.
Dieser Fall ist auch beim Vergleich der Kraftgesetz-Exponenten +1 (elastisch) und -2 (klassisch gravitativ) im Abschnitt 2.8.4.1 Rotierendes Bezugssydstem behandelt worden.
Hier noch einmal die wichtigste Darstellung des elastischen Falles im ruhenden kartesichen und im rotierenden Bezugssystem:
Die starre (blaue) Kreisbewegung im ruhenden System (kartesisch x und y) wird zum scharzen Punkt im rotierenden (Radius r und Winkel phi), die elastische (rote) Ellipse zum grünen Kreis im rotierenden. (Schwingzeit und Umlaufzeit synchronisiert!) Der grüne Kreis enthält sowohl die Information über die periodische Radius-Veränderung als auch über die periodisch veränderte Winkel-Lage zu einem Fixpunkt im rotierenden System (innen überholt die Masse bei jeder Umdrehung den Bezugswinkel, außen läuft sie ihm dann nach).
Aber nun kommt’s dicke:
Wir kippen die Angelegenheit in die x-z-Ebene und lassen anstelle der Federkraft die Schwerkraft zu! Was passiert mit einem solchen Pendel, wenn wir einen variablen Radius zulassen?
Wir programmieren eimal das Roboter-Modell, um eine physikalisch gesicherte numerische Basis mit allen erforderlichen freien Parametern für weitere Änderungen zur Verfügung zu haben. Wir wollen sämtliche Komponenten in beiden Systemen ständig mitführen, damit uns nicht das geringste entgeht.
(geht gleich weiter!)
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