F0.1.1 Geometrische Zusammenhänge und Dynamik
Es sind einige Dinge zu beachten, wenn man exakt oder aber auch nur in erster Näherung rechnen will.
Erst dann, wenn die Steuerung funktioniert, können wir zur Regelung übergehen.
Das Stellglied ist der Lenker, das heißt, dass der Lenkerwinkel die Stellgröße ist. Mit ihrer Hilfe wollen wir das Gleichgewicht bei einer Kurvenfahrt mit einem dazugeghörigen Kippwinkel herstellen, der seinerseits neben dem Kurvenradius auch von der Geschwindigkeit abhängig ist.
Tasten wir uns schrittweise heran:
1. Kurvenradius als Funktion des Lenkerwinkels
Welchen Kurvenradius fahren wir bei einer bestimmten Lenkerwinkel? Wir machen eine möglichst einfache Zeichnung, die an die Schulmathematik anknüpft:
Die Richtung des Hinterrades, das auf der x-Achse liegt, zeige parallel zur y-Achse nach oben. Das Vorderrad liegt dann auf dem Vorderradkreis mit dem Radius rv und bildet dessen Tangente. Auch das Hinterrad bildet eine Tangente für seinen eigenen (inneren!) Kreis mit dem Radius rh. Neben dem Lenkwinkel lambda haben wir nun noch den Radstand lr (Abstand zwischen Vorder- und Hinterrad) zu beachten und kommen auf die relativ einfachen Zusammenhänge:
(1) lr = rv*sin(lambda) -> rv = lr/sin(lambda)
(2) rh = rv*cos(lambda)
Die Plausibilitätsprüfung ergibt den richtigen Wert für lambda=90°, nämlich einen Radius Null für das Hinterrad und Radius = Radlänge für das Vorderrad sowie für lambda=0° zwei unendliche Radien, also Geradeausfahrt.
2. Ort und Winkel des Vorderrades nach einer Kurvenfahrt
Für die numerische Integration der Fahrtroute und die numerische Steuerung und Regelung führen wir einen Zeittakt dt ein. Für eine gegebene Geschwindigkeit v wäre dann der in diesem Zeittakt zurückgelegte Weg
ds = v*dt
Bei einem Radius der Vorderradfahrt von rv würde ein Winkel dbeta von rund (unter der Bedingung ds << rv)
dbeta = ds/rv
überstrichen werden und einen neuen Fahrwinkel betaneu ergeben.
beta(neu) = beta(alt) +dbeta
Der neue Ort des Vorderrades wäre dann („Trapez-Verfahren“ für größere Genauigkeit)
xvr(neu) = xvr(alt) + ds*cos((beta(alt)+beta(neu))/2)
yvr(neu) = yvr(alt) + ds*sin((beta(alt)+beta(neu))/2)
3. Winkel des Schwerpunktes zur Senkrechten über der Fahrlinie
Dieser Kipp-Winkel alpha integriert sich über das Newtonsche Gesetz über die Winkel-Beschleunigungen, die sich aus Fliehkraft und Schwerkraft, aus Masse und Höhe über der Fahrlinie ergeben. Wir starten bei Null.
Drehmoment aus der Fliehkraft:
Mf = m*v²/r * h
(Welches r man hier nimmt, hängt von der Position der Masse zwischen Vorder-und Hinterrad ab! Auch für h müsste man bei größeren alpha genauer h*cos(alpha) einsetzen…)
Drehmoment aus der Schwerkraft:
Ms = m*g*h*sin(alpha)
Daraus ergibt sich eine Winkelbeschleunigung für das Trägheitsmoment J von
d²alpha/dt² = (Mf+Ms)/J mit J = m*h² (gerundet!)
Zweimal integriert (jedesmal dt beachten!) ergibt das die Winkeländerung innerhalb von dt, die zum alten alpha addiert werden muss.
Dabei muss auch beachtet werden, dass Mf und Ms die richtigen Vorzeichen erhalten!
Bis hierher ist alles in einer EXCEL-Tabelle durch Versuch und Irrtum iterativ so zu erledigen, dass in einer konstanten Kurve nach der S-Kurven-Anfahrt ein konstanter Neigungswinkel entsteht. Das erfordert viel Geduld und Übung im Umgang mit mehrparametrigen Systemen!
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